Question

已知：線(xiàn)段OA、OB（OA＜OB）的長(zhǎng)是一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根．
（1）求直線(xiàn)AB的解析式；
（2）在x軸上存在一點(diǎn)C，使△ABC的面積為9，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP為等腰三角形？若存在直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵x²-7x+12=0
（x-4）（x-3）=0，
解得：x₁=4，x₂=3，
線(xiàn)段OA、OB（OA＜OB）的長(zhǎng)是一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，
∴OA=3，OB=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，0），A點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為；y=kx+b，則，
解得：，
∴直線(xiàn)AB的解析式為：y=-x+3；

（2）如圖1所示：∵△ABC的面積為9，AO=3，
∴×BC×AO=9，BC′×AO=9，
解得：BC=6，BC′=6，
∵BO=4，
∴CO=2，OC′=4+6=10，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，0），C′點(diǎn)坐標(biāo)為：（10，0）；

（3）如圖2所示：
∵OA=3，OB=4，
∴AB==5，
當(dāng)AB=AP時(shí)，此時(shí)OP=3+5=8，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為；（0，8）；
當(dāng)AB=BP₁時(shí)，此時(shí)OP₁=AO=3，∴P₁點(diǎn)坐標(biāo)為；（0，-3）；
當(dāng)AB=AP₂時(shí)，此時(shí)OP₂=5-3=2，∴P₂點(diǎn)坐標(biāo)為；（0，-2）；
當(dāng)AP₃=BP₃時(shí)，設(shè)OP₃=x，
此時(shí)AP₃=3+x，BP₃=，
∴3+x=，
解得：x=，
∴P₃點(diǎn)坐標(biāo)為；（0，-）
綜上所述：符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，8），（0，-3），（0，-2），（0，-）．
分析：（1）首先求出一元二次方程的解，進(jìn)而得出OA，BO的長(zhǎng)，即可得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）利用△ABC的面積為9，AO=3，則×BC×AO=9，BC′×AO=9，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分別根據(jù)當(dāng)AB=AP時(shí)，當(dāng)AB=BP₁時(shí)，當(dāng)AB=AP₂時(shí)，當(dāng)AP₃=BP₃時(shí)，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和三角形面積求法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵，注意不要漏解．