已知:線段OA⊥OB,點C為OB中點,D為線段OA上一點.連接AC,BD交于點P.
(1)如圖1,當OA=OB,且
AD
AO
=
1
2
時,求
AP
PC
的值;
(2)如圖2,當OA=OB,且
AD
AO
=
1
4
時,①
AP
PC
=
2
3
2
3
;②證明:∠BPC=∠A;
(3)如圖3,當AD:AO:OB=1:n:2
n
時,直接寫出tan∠BPC的值.
分析:(1)過C作CE∥BD交AO于點E,則CE為△OBD的中位線,得到DE=OE,由PD∥CE,根據(jù)平行線分線段成比例定理得
AP
PC
=
AD
DE
,又
AD
AO
=
1
2
得AD=DO,則有AD=2DE,即可得到
AP
PC
=2;
(2)①與(1)不同的是
AD
AO
=
1
4
則DO=3AD,得2DE=3AD即AD=
2
3
DE,則
AP
PC
=
2
3
;②設OB=8a,則OA=OB=8a,OC=4a,AD=2a,DE=OE=3a,根據(jù)勾股定理得到CE=
(4a)2+(3a)2
=5a,則有EC=EA,得到∠ACE=∠A,而∠BPC=∠ACE,即可得到結論;
(3)過D作DF⊥AC,垂足為F,過C作CE∥BD交AO于點E,設AD=a,則AO=na,OB=2a
n
,由點C為OB中點,則CO=a
n
,利用勾股定理可計算得AC=
n2+n
a,易證得Rt△ADF∽Rt△ACO,得到AF:AO=DF:OC=AD:AC,即AF:na=DF:
n
a=a:
n2+n
a,求出AF=
n
n+1
a,DF=
a
n+1
,再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AP:AC=AD:AE,即AP:
n2+n
a=a:
n+1
2
a,求出AP=
2 a
n
n+1
,則PF=AP-AF=
n
n+1
a,然后根據(jù)正切的定義即可得到tan∠FPD,從而得到tan∠BPC的值.
解答:解:(1)過C作CE∥BD交AO于點E,如圖,
∵點C為OB中點,
∴CE為△OBD的中位線,
∴DE=OE,
∵PD∥CE,
AP
PC
=
AD
DE

又∵
AD
AO
=
1
2
,
∴AD=DO,
∴AD=2DE,
AP
PC
=2;
(2)①過C作CE∥BD交AO于點E,如圖,
∵點C為OB中點,
∴CE為△OBD的中位線,
∴DE=OE,
∵PD∥CE,
AP
PC
=
AD
DE
,
又∵
AD
AO
=
1
4
,
∴DO=3AD,
∴2DE=3AD,
∴AD=
2
3
DE,
AP
PC
=
2
3
;
②設OB=8a,
∴OA=OB=8a,OC=4a,
AD=2a,DE=OE=3a,
而OA⊥OB,
∴∠COE=90°,
在Rt△OCE中,OC=4a,OE=3a,則CE=
(4a)2+(3a)2
=5a,
∴EC=EA,
∴∠ACE=∠A,
而CE∥BD,
∴∠BPC=∠ACE,
∴∠BPC=∠A;
故答案為
2
3
;
(3)過D作DF⊥AC,垂足為F,過C作CE∥BD交AO于點E,如圖,
設AD=a,則AO=na,OB=2a
n

∵點C為OB中點,
∴CO=a
n
,
在Rt△ACO中,AC=
AO2+CO2
=
n2+n
a,
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO,
∴AF:AO=DF:OC=AD:AC,即AF:na=DF:
n
a=a:
n2+n
a,
∴AF=
n
n+1
a,DF=
a
n+1
,
又∵PD∥CE,
∴AP:AC=AD:AE,即AP:
n2+n
a=a:
n+1
2
a,
∴AP=
2 a
n
n+1
,
∴PF=AP-AF=
n
n+1
a,
∴tan∠FPD=
FD
PF
=
1
n
=
n
n

∴tan∠BPC=
n
n
點評:本題考查了平行線分線段成比例定理:如果一組平行線被兩條直線所截,那么所截得的線段對應成比例.也考查了三角形中位線的性質、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義.
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(1)如圖1,當OA=OB,且D為OA中點時,求
AP
PC
的值;
(2)如圖2,當OA=OB,且
AD
AO
=
1
4
時,求tan∠BPC的值.
(3)如圖3,當AD:AO:OB=1:n:2
n
時,直接寫出tan∠BPC的值.
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(2)如圖2,當OA=OB,且數(shù)學公式時,①數(shù)學公式=______;②證明:∠BPC=∠A;
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