Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，以AD為直徑的⊙O交AB于E，交AC于F．

（1）求證：BE=CF；

（2）若AE=4，BC=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接DE、DF，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，由直徑所對的圓周角是直角可知：∠AED＝∠AFD＝90°，進而證得△ADE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE＝AF，繼而可得BE＝CF；

（2）由題意得：∠ADB＝90°,則∠B＋∠BAD＝90°由直徑所對的圓周角是直角可知：∠BED＝∠AED＝90°，進而可得∠B＋∠BDE＝90°,根據(jù)等量代換可得∠BAD＝∠BDE，進而可證△ABD∽△DBE，設(shè)BE＝x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于x的方程，解方程可得x的值，再根據(jù)勾股定理可求出AD，進而可得⊙O的半徑．

（1）連接DE、DF，

∵AB=AC，AD⊥BC于D

∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠AED＝∠AFD＝90°，

∴DE＝DF，

∵∠ADE＝180°－∠AED－∠EAD

∠ADF＝180°－AFD－∠FAD

∴∠ADE＝∠ADF

又∵AD＝AD

∴△ADE≌△ADF（ASA），

∴AE＝AF

∴AB－AE＝AC－AF

∴BE＝CF

（2）∵AD⊥BC于D

∴∠ADB＝90°,

∴∠B＋∠BAD＝90°

∵直徑所對的圓周角是直角

∴∠BED＝∠AED＝90°，

∴∠B＋∠BDE＝90°,

根據(jù)等量代換可得∠BAD＝∠BDE，

∴△ABD∽△DBE，

∴＝

即

設(shè)BE＝x，

∵AE=4，BC=

∴BD＝BC＝

∴5＝（4＋x）x

解得：x1＝1，x2＝﹣5（舍去）

∴BE＝1，AB＝1＋4＝5，

由勾股定理可得：

AD＝＝＝

∴OD＝OA＝，

即⊙O的半徑為．