Question

【題目】拋物線L：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），與它的對(duì)稱(chēng)軸直線x=1交于點(diǎn)B．

（1）直接寫(xiě)出拋物線L的解析式；

（2）如圖1，過(guò)定點(diǎn)的直線y=kx﹣k+4（k＜0）與拋物線L交于點(diǎn)M、N．若△BMN的面積等于1，求k的值；

（3）如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點(diǎn)D．F為拋物線L1的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，P為線段OC上一點(diǎn)．若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求m的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）當(dāng)m=2﹣1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，）；當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）和（0，2）．

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1且拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解可即得；

（2）根據(jù)直線y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直線所過(guò)定點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，4），從而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BGxN﹣BGxM=1得出xN﹣xM=1，聯(lián)立直線和拋物線解析式求得x=，根據(jù)xN﹣xM=1列出關(guān)于k的方程，解之可得；

（3）設(shè)拋物線L1的解析式為y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再設(shè)P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF兩種情況，由對(duì)應(yīng)邊成比例得出關(guān)于t與m的方程，利用符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，結(jié)合方程的解的情況求解可得．

（1）由題意知，解得：，

∴拋物線L的解析式為y=﹣x2+2x+1；

（2）如圖1，設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xM，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xN，

∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y=4，即該直線所過(guò)定點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，4），

∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，

∴點(diǎn)B（1，2），

則BG=2，

∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG（xN﹣1）-BG（xM-1）=1，

∴xN﹣xM=1，

由得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，

解得：x==，

則xN=、xM=，

由xN﹣xM=1得=1，

∴k=±3，

∵k＜0，

∴k=﹣3；

（3）如圖2，

設(shè)拋物線L1的解析式為y=﹣x2+2x+1+m，

∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），

設(shè)P（0，t），

（a）當(dāng)△PCD∽△FOP時(shí)，，

∴，

∴t2﹣（1+m）t+2=0①；

(b)當(dāng)△PCD∽△POF時(shí)，，

∴，

∴t=（m+1）②；

（Ⅰ）當(dāng)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)，

△=（1+m）2﹣8=0，

解得：m=2﹣1（負(fù)值舍去），

此時(shí)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根t1=t2=，

方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根t=，

∴m=2﹣1，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，）；

（Ⅱ）當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，

把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，

解得：m=2（負(fù)值舍去），

此時(shí)，方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根t1=1、t2=2，

方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根t=1，

∴m=2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）和（0，2）；

綜上，當(dāng)m=2﹣1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，）；

當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）和（0，2）．