Question

幾何模型：
條件：如圖1，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．
問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最�。�
方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．
模型應(yīng)用：
（1）如圖2，正方形是大家喜愛(ài)的一種軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)角線所在的直線就是對(duì)稱軸．現(xiàn)在有一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)． 請(qǐng)求出EP+PB的最小值．

（2）如圖3，∠AOC=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱，連接DE與AC的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，EP+PB的最小值等于DE，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P₁，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P₂，連接P₁P₂，求出△PQR周長(zhǎng)的最小值=P₁P₂，連接OP₁、OP₂，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出△OP₁P₂是等腰直角三角形，然后求解即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴連接DE與AC的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，EP+PB的最小值=DE，
由勾股定理得，DE=

22+12

=

5

；

（2）作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P₁，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P₂，連接P₁P₂，
則△PQR周長(zhǎng)的最小值=P₁P₂，
連接OP₁、OP₂，則OP=OP₁=OP₂，∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂，
所以，OP₁=OP₂，∠P₁OP₂=2∠AOB=2×45°=90°，
所以，△OP₁P₂是等腰直角三角形，
∵PO=10，
∴PO₁=10，
∴P₁P₂=

2

PO₁=10

2

，
即△PQR周長(zhǎng)的最小值為10

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記軸對(duì)稱的性質(zhì)以及最短路線的確定方法是解題的關(guān)鍵．