Question

正方形ABCD中，E是CD邊上一點，

（1）將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使AD、AB重合，得到△ABF，如圖1所示．觀察可知：與DE相等的線段是　 　，∠AFB=∠　 　

（2）如圖2，正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD邊上的點，且∠PAQ=45°，試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明：DQ+BP=PQ

（3）在（2）題中，連接BD分別交AP、AQ于M、N，你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說明BM²+DN²=MN²．

Answer 1

解：（1）∵△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使AD、AB重合，得到△ABF，

∵DE=BF，∠AFB=∠AED．

故答案為BF，AED；

（2）將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則AD與AB重合，得到△ABE，如圖2，

則∠D=∠ABE=90°，即點E、B、P共線，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，

∵∠PAQ=45°，

∴∠PAE=45°，

∴∠PAQ=∠PAE，

在△APE和△APQ中

∵，

∴△APE≌△APQ，

∴PE=PQ，

而PE=PB+BE=PB+DQ，

∴DQ+BP=PQ；

（3）∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

如圖，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則AD與AB重合，得到△ABK，

則∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，

與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK得到MN=MK，

∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，

∴△BMK為直角三角形，

∴BK²+BM²=MK²，

∴BM²+DN²=MN²．