如圖,直線分別交x軸、y軸于B、A兩點,拋物線L:y=ax2+bx+c的頂點G在x軸上,且過(0,4)和(4,4)兩點.
(1)求拋物線L的解析式;
(2)拋物線L上是否存在這樣的點C,使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形,若存在,請求出C點的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)將拋物線L沿x軸平行移動得拋物線L1,其頂點為P,同時將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB,使點D落在拋物線L1上.試問這樣的拋物線L1是否存在,若存在,求出L1對應的函數(shù)關系式,若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)已知拋物線的頂點在x軸上,那么拋物線與x軸只有一個交點,即△=0,然后將已知的兩點坐標代入拋物線中聯(lián)立三式即可求出拋物線的解析式.
(2)若四邊形ABGC是以BG為底的梯形,那么AC∥BG,可先求出A點的坐標,然后將A點縱坐標代入拋物線中即可求出C點坐標.要注意的是四邊形ABGC是梯形,因此AC≠BG,據(jù)此可將不合題意的值舍去.
(3)假設存在這樣的拋物線,先設出平移后拋物線的解析式,解題的大致思路:根據(jù)平移后拋物線的解析式寫出P點的坐標,然后根據(jù)折疊的性質求出D點的坐標,已知D在拋物線上,將D點代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式.
解答:解:(1)∵拋物線L過(0,4)和(4,4)兩點,由拋物線的對稱性知對稱軸為x=2,
∴G(2,0),
將(2,0)、(4,4)代入y=ax2+bx+4,
,
解得
∴拋物線L的解析式為y=x2-4x+4.

(2)∵直線分別交x軸、y軸于B、A兩點,
∴A(0,3),B(-,0).
若拋物線L上存在滿足的點C,則AC∥BG,
∴C點縱坐標此為3,
設C(m,3),
又∵C在拋物線L,代入解析式:(m-2)2=3,
∴m=2±
當m=2+時,BG=2+,AG=2+
∴BG∥AG且BG=AG,
此時四邊形ABGC是平行四邊形,舍去m=2+
當m=2-時,BG=2-,AG=2-
∴BG∥AG且BG≠AG,
此時四邊形ABGC是梯形.
故存在這樣的點C,使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形,其坐標為:
C(2-,3).

(3)假設拋物線L_1是存在的,且對應的函數(shù)關系式為y=(x-n)2,
∴頂點P(n,0).
Rt△ABO中,AO=3,BO=
可得∠ABO=60°,
又∵△ABD≌△ABP.
∴∠ABD=60°,BD=BP=+n.
如圖,過D作DN⊥x軸于N點,
Rt△BND中,BD=+n,∠DBN=60°,
∴DN=+n),BN=
∴D(--,),
即D(,),
又∵D點在拋物線y=(x-n)2上,
=(--n)2,
整理:9n2+16+21=0.
解得n=-,n=-,當n=-時,P與B重合,不能構成三角形,舍去,
∴當n=-時,此時拋物線為y=(x+2
點評:本題是二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、圖形的翻轉折疊等知識.
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kx
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3
,0)
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3
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3
3
2
,求出此時P點的坐標,并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標.

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kx
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6
6

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