Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，求的面積；

（3）如圖3，點(diǎn)為對(duì)稱軸右側(cè)第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，連接，交線段于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線交線段于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2）8；（3）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）先將的橫坐標(biāo)代入拋物線方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由現(xiàn)有條件推出CK的值，即可求出答案；

（3）首先過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，求出t值，再過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，確定Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），AT=BT=1，推出，過(guò)點(diǎn)作軸，并截取，連接，，推出，推出，從而證明，得到，設(shè)，則，在中，，推出，推出，設(shè)直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，所求解析式為，過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由，可得，點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)點(diǎn)，，解得，即可得出．

（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線解析式

得，

解得

∴拋物線解析式為；

（2）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，代入拋物線方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-3），又C（0，-3），

軸，

，

如圖1所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，

在中，，

在中，，

，

；

（3）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，

，

，

，

，

，

，

解得，

∴點(diǎn)，點(diǎn)，

，

，

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，

設(shè)點(diǎn)，由可得，

解得或2，

∴點(diǎn)，

，

過(guò)點(diǎn)作軸，并截取，連接，

，

，

，

，

，

，

設(shè)，則，在中，，

，

，

設(shè)直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，

則直線的解析式為，

過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，

由，可得，點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)點(diǎn)，

，解得，

．