Question

【題目】將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2 ，P是AC上的一個(gè)動點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到∠ABC的平分線上時(shí)，連接DP、BP，求CP、DP的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中出現(xiàn)PD＝BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上？求出此時(shí)平行四邊形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．

（1）如圖（1），作DF⊥AC，

∵Rt△ACD中，AD＝CD，

∴DF＝AF＝CF＝．

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC＝30°，

∴CP＝1，PF＝，

∴DP==．

（2）

解：當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時(shí)，

根據(jù)（1）中結(jié)論，DF＝,∠ADF＝45°，又PD＝BC=，

∴＝，

∴∠PDF＝30°．

∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．

當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時(shí)，同（2）可得∠PDF＝30°．

∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°．

（3）

解：∵BC⊥AC

∴只有當(dāng)DP⊥AC時(shí)，以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

如圖，在DPBQ中，BC∥DP，

∵∠ACB＝90°，

∴DP⊥AC．

根據(jù)（1）中結(jié)論可知，DP＝CP＝，

∴SDPBQ＝DP·CP＝．

【解析】（1）含30度角的直角三角形中，三邊的比是1：:2，依此可求得CP；構(gòu)造直角三角形PDF，先求出PF和DE，即可求得PD；
（2）分類討論：P在DF左邊和P在DF右邊；
（3）只能是DP//BC，且DP=BC，則DP⊥AC，CP是平行線DP與BC之間的距離，則SDPBQ＝DP·CP.