Question

【題目】已知如圖拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）

（1）請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式．
（2）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△ACP的周長(zhǎng)最短，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)G的坐標(biāo)是（2，﹣3），點(diǎn)F是x軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以A，G，F(xiàn)，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)．
（4）在B、C連線的下方拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QBC的面積是△ABC的面積的一半？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（5）拋物線的頂點(diǎn)設(shè)為D，對(duì)稱軸與y軸的交點(diǎn)為E，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段DE上的一點(diǎn)，若∠MNC=90°，請(qǐng)直接寫出實(shí)數(shù)m的變化范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），

∴y=a（x+1）（x﹣3），

把點(diǎn)C（0，﹣3）代入y=a（x+1）（x﹣3）得，a=1，

∴拋物線的解析式為；y=x2﹣2x﹣3

（2）解：存在，如圖1

，

連接BC交對(duì)稱軸于P，

則PA+PC=BC最短，

即△ACP的周長(zhǎng)最短，

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣3，

∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，

把x=1代入y=x﹣3，

得y=﹣2，

∴P（1，﹣2）

（3）解：存在點(diǎn)R，使得以A，G，F(xiàn)，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

①平行四邊形ARGF時(shí)，RG∥AF，yR=yG=﹣3，

當(dāng)y=﹣3時(shí)，x2﹣2x﹣3=﹣3，解得x1=0，x2=2（舍）

點(diǎn)R1（0，﹣3）；

②平行四邊形AGFR時(shí)，yR+yG=0，即yR=3，當(dāng)y=3時(shí)，x2﹣2x﹣3=3，解得x1=1﹣ ，x2=1+ ，

R2（1﹣ ，3 ），R3（1+ ，3），

綜上所述：存在，點(diǎn)R的坐標(biāo)（0，﹣3），（1﹣ ，3 ），（1+ ，3）

（4）解：如圖2

，

連BC，直線BC解析式為y=x﹣3，△ABC面積可求得6．

△ABC與△QBC同底，

則底BC上的高應(yīng)為 ，

過(guò)點(diǎn)C，作CQ⊥BC，則CQ= ，再過(guò)Q作QH⊥y軸與H，

由Rt△CHQ∽△COB，得Q（1，﹣4），過(guò)Q作直線QL∥BC，

直線QL解析式可求得y=x﹣5，

聯(lián)立方程組，得 ，

解得 ， ，

所以在BC連線下方的拋物線上存在這點(diǎn)Q1（1，﹣4）Q2（2，﹣3）使得△QBC是△ABC面積的一半

（5）解：如圖3

，

①作∠MNC=90°，過(guò)點(diǎn)C做CF⊥DE，則△CFN∽△NEM，得

．

設(shè)NE=n，M（m，0），D（1，﹣4），C（0，﹣3），

則CF=1，NE=n，F(xiàn)N=3﹣n，ME=1﹣m，

代入比例式，得

一元二次方程n2﹣3n+（1﹣m）=0 關(guān)于n的一元二次方程有解，

則m≥﹣ ；

②當(dāng)點(diǎn)N移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，△CNF是等腰直角三角形，與△ENM仍然相似，

所以EM=EN=4，

所以此時(shí)m=5，

綜上可知 m的范圍是﹣ ≤m≤5

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)線段的性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得答案；（4）根據(jù)面積可得CQ的長(zhǎng)度，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得QL，根據(jù)解方程組可得答案；（5）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)方程跟的判別式可得答案，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得答案。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行線的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及對(duì)平行四邊形的性質(zhì)的理解，了解平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分．