Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過A（2，0）、B（0，﹣6）兩點(diǎn)，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線和直線BC的解析式；

（2）設(shè)拋物線與直線BC相交于點(diǎn)D，求△ABD的面積；

（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB的周長最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)及△QAB最小周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣6，y＝x﹣6；（2）；（3）存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)（4，﹣2）時(shí)，使得△QAB的周長最�。�

【解析】

（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得出拋物線的解析式，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式；

（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)S△ABD＝S△ACD＋S△ABC進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案；

（3）AB長度固定，只需滿足QA＋QB最小即可，找點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B與對稱軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)Q的位置，求出直線A'B的解析式，即可解決問題．

解：（1）將A（2，0）、B（0，﹣6）代入拋物線解析式得：，

解得：，

故拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣6，

其對稱軸為：x＝4，

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：，

解得：，

故直線BC的解析式為y＝x﹣6；

（2）聯(lián)立直線BC與拋物線的解析式得：，

解得：或，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，），

則S△ABD＝S△ACD+S△ABC＝；

（3）點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為A'，連接A'B，則A'B與對稱軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)Q的位置：

由題意得：A'坐標(biāo)為（6，0），B（0，﹣6），

設(shè)直線A'B的解析式為：y＝mx+n，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)可得：，

解得：，

即直線A'B的解析式為y＝x﹣6，

當(dāng)x=4時(shí)，y＝4﹣6＝－2，

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，﹣2）．

即存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)（4，﹣2）時(shí)，使得△QAB的周長最�。�