【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),線段AE以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)E落在線段BE上的D處,線段CE以C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)E落在BE的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)F處,連接AF,CD.
(1)求證:四邊形ADCF是平行四邊形;
(2)當(dāng)BD=CD時(shí),探究線段AB,BC,BF三者之間的等量關(guān)系,并證明;
(3)在(2)的條件下,若DE=1,試求BC的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2),理由見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)因?yàn)橐阎獥l件為AE=CE,只需證明DE=EF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到△AED≌△CEF所需條件;
(2)根據(jù)題中條件可得AG⊥BC,進(jìn)一步證明△BFC為直角三角形,利用勾股定理和等量代換可探究出線段之間的關(guān)系;
(3)根據(jù)中位線定理可得DG為CF的一半,利用(2)的結(jié)論,列方程求解.
解:(1)由旋轉(zhuǎn)可得,AD=AE,CE=CF,
∴∠ADE=∠AED, ∠CEF=∠CFE,
∵∠AED=∠CEF,
∴∠ADE=∠CFE,
∵E是AC的中點(diǎn),
∴AE=CE,
∴△AED≌△CEF,
∴DE=EF,
∴四邊形ADCF是平行四邊形;
(2)延長(zhǎng)AD交BC于G,
∵AB=AC,BD=CD,
∴AG為BC的垂直平分線,
∴AG⊥BC,
∴∠AGB=90°
∵四邊形ADCF是平行四邊形,
∴AD∥FC,AD=FC,
∴∠AGB=∠FCB=90°,
∴BF2=BC2+FC2,
∵CF=CE=
∴ ,
∴ ;
(3)如圖,∵AB=AC,AG⊥BC,
∴BG=CG,
∵DG∥FC,
∴BD=DF,
∴DG是三角形△BCF的中位線,BF=4,
∴DG ,
設(shè)CF=x,則AD=x,DG= ,AB=AC=2x,
∴AG= ,
由勾股定理得,CG= ,
∴BC=,
∵,
∴,
∴x=或x=(不符合題意,舍去),
∴BC=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,BD是對(duì)角線,∠ADB=90°,E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn).
(1)求證:四邊形DEBF是菱形;
(2)若BE=4,∠DEB=120°,點(diǎn)M為BF的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在BD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),則PF+PM的最小值為 ,并在圖上標(biāo)出此時(shí)點(diǎn)P的位置.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明和小亮計(jì)劃暑期結(jié)伴參加志愿者活動(dòng).小明想?yún)⒓泳蠢戏⻊?wù)活動(dòng),小亮想?yún)⒓游拿鞫Y儀宣傳活動(dòng).他們想通過(guò)做游戲來(lái)決定參加哪個(gè)活動(dòng),于是小明設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲,游戲規(guī)則是:在三張完全相同的卡片上分別標(biāo)記4、5、6三個(gè)數(shù)字,一人先從三張卡片中隨機(jī)抽出一張,記下數(shù)字后放回,另一人再?gòu)闹须S機(jī)抽出一張,記下數(shù)字,若抽出的兩張卡片標(biāo)記的數(shù)字之和為偶數(shù),則按照小明的想法參加敬老服務(wù)活動(dòng),若抽出的兩張卡片標(biāo)記的數(shù)字之和為奇數(shù),則按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動(dòng).你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,□ABCD中,BD是它的一條對(duì)角線,過(guò)A、C兩點(diǎn)作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E、F,延長(zhǎng)AE、CF分別交CD、AB于M、N。
(1)求證:四邊形CMAN是平行四邊形。
(2)已知DE=4,F(xiàn)N=3,求BN的長(zhǎng)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD中,對(duì)角線BD被AC平分,那么再加上下述中的條件( ) 可以得到結(jié)論: “四邊形ABCD是平行四邊形”.
A.AB=CD B.∠BAD=∠BCDC.∠ABC=∠ADC D.AC= BD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=4.點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P沿A→C的方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q沿B→C的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P、Q停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)四邊形ABQP的面積是△ABC面積的一半時(shí),求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF.
(1)求證:AD平分∠BAC.
(2)寫(xiě)出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠BAD=∠CAD,則下列條件中不一定能使△ABD≌△ACD的是( )
A.∠B=∠CB.∠BDA=∠CDAC.AB=ACD.BD=CD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,面積為4的正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)B、P都在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作軸x、y軸的平行線,交y軸、x軸于點(diǎn)D、E.設(shè)矩形PDOE與正方形OABC重疊部分圖形的面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求k的值;
(2)用含m的代數(shù)式表示CD的長(zhǎng);
(3)求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.
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