Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,m)和點(diǎn)B(n,0)分別在y軸和x軸的正半軸上，滿足，連接線段AB，點(diǎn)C為AB上一動(dòng)點(diǎn).

(1)填空:m=_____，n=_____；

(2)如圖，連接OC并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得DC=OC，連接AD.若△AOC的面積為2，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖，BC=OB，∠ABO的平分線交線段AO于點(diǎn)E，交線段OC于點(diǎn)F，連接EC.

求證：①△ACE為等腰直角三角形;

②BF－EF=OC.

Answer 1

【答案】（1）4，4；（2）D（2，6）；（3）①見解析；②見解析.

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可求出m、n的值；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，如圖，由題意易得△AOB和△ACG均為等腰直角三角形，由△AOC的面積為2可求得AG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OG的長(zhǎng)，再利用三角形的中位線可得DM和OM的長(zhǎng)，即得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）①先利用SAS證明△OBE≌△CBE，可得∠BCE=∠BOA=90°，再根據(jù)∠OAB =45°和三角形的內(nèi)角和求出∠AEC的度數(shù)，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；

②過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OC交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)AAS可證明△ACH≌△CEF，從而得EF=CH，同理可證△AOH≌△OBF，得OH=BF，問(wèn)題即得解決.

解：（1）∵，∴，解得.

故答案為4，4；

（2）由（1）得，A（0，4）、B（4，0），∴OA=OB=4，∵∠BOA=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，如圖，

則CG∥DM，∠ACG=45°，∴AG=CG，

∵△AOC的面積為2，∴，解得：CG=1，

∴AG=1，∴OG=3，

∵C是OD的中點(diǎn)，CG∥DM，

∴DM=2CG=2，OM=2OG=6，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，6）；

（3）①證明：∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=∠CBE，

又∵OB=CB，BE=BE，

∴△OBE≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BOA=90°，即∠ACE=90°，

∵∠OAB =45°，∴∠AEC=45°，

∴ ∠AEC=∠CAE，∴CA=CE，

∴△ACE為等腰直角三角形；

②過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OC交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖，

∵BC=BO，BE平分∠ABO，∴BF⊥OC，

∴∠AHC=∠CFE=90°，

∵∠CAH+∠ACH=90°，∠ECF+∠ACH=90°，

∴∠CAH=∠ECF，又∵AC=CE，

∴△ACH≌△CEF（AAS），∴EF=CH，

同理可證：△AOH≌△OBF（AAS），

∴OH=BF，

∴OC+EF=BF，即BF－EF=OC.