Question

7．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE，過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{5}$，下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為$\sqrt{2}$；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$．其中正確結論的序號是①③④．

Answer 1

分析 作BF⊥AE于F，如圖，先利用等角的余角相等得到∠1=∠3，則可根據(jù)“SAS”證明△APD≌△AEB，則可對①進行判斷；再判斷△AEP為等腰直角三角形，得到∠4=∠5=45°，則∠APD=135°，根據(jù)全等三角形的性質得∠AEB=∠APD=135°，于是可計算出∠PEB=135°-∠4=90°，所以BE⊥ED，則可對③進行判斷；在Rt△PED中，利用勾股定理計算出BE=$\sqrt{3}$，然后判斷△BEF為等腰直角三角形得到BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，則可對②進行判斷；由于△APD≌△AEB，則S_△APD=S_△AEB，然后利用S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB=S_{四邊形AEBP}=S_△AEP+S_△PBE可對④進行判斷．

解答 解：作BF⊥AE于F，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AP⊥AE，
∴∠EAP=90°，即∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△APD和△AEB中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AP}\\{∠1=∠3}\\{AP=AE}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB，所以①正確；
∵AE=AP，∠PAE=90°，
∴△AEP為等腰直角三角形，
∴∠4=∠5=45°，
∴∠APD=135°，
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB=∠APD=135°，
∴∠PEB=135°-∠4=90°，
∴BE⊥ED，所以③正確；
在Rt△PED中，BE=$\sqrt{P{B}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△BEF中，∵∠BEF=180°-∠AEB=45°，
∴△BEF為等腰直角三角形，
∴BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以②錯誤；
∵△APD≌△AEB，
∴S_△APD=S_△AEB，
∴S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB=S_{四邊形AEBP}=S_△AEP+S_△PBE=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$，所以④正確．
故答案為①③④．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質、等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質；會應用面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積．