Question

【題目】如圖，在菱形中，，點(diǎn)將對角線三等分，且，連接.

（1）求證：四邊形為菱形

（2）求菱形的面積；

（3）若是菱形的邊上的點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______個(gè).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）8

【解析】

（1）根據(jù)題意證明△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFB，得到四邊相等即可證明是菱形；

（2）求出菱形的對角線的長，利用菱形的面積等于對角線乘積的一半解決問題即可．

（3）不妨假設(shè)點(diǎn)P在線段AD上，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E′，連接FE′交AD于點(diǎn)P，此時(shí)PE＋PF的值最�。�求出PE＋PF的最值，判斷出在線段AD上存在兩個(gè)點(diǎn)P滿足條件，由此即可判斷．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD≡AB=CD=CB，∠DAE=∠BAE=∠DCF=∠BCF，

∴△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFB（SAS）

∴DE=BE=DF=BF,

∴四邊形DEBF為菱形.

（2）連接DB，交AC于O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DB⊥AC，，

又∵AE=EF=FC=2，

∴AO=3，AD=2DO，

∴，∴，

∴

（3）不妨假設(shè)點(diǎn)P在線段AD上，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E′，連接FE′交AD于點(diǎn)P，此時(shí)PE＋PF的值最�。�

易知PE＋PF的最小值＝2

當(dāng)點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，PE＋PF的值由最大值6減小到2再增加到4，

∵PE＋PE＝，2＜＜4，

∴線段AD上存在兩個(gè)點(diǎn)P，滿足PE＋PF＝

∴根據(jù)對稱性可知：菱形ABCD的邊上的存在8個(gè)點(diǎn)P滿足條件．

故答案為8．