Question

（本小題滿分6分）
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O為BC邊上一點(diǎn)，以O為圓心，OB為半徑作半圓與AB邊和BC邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連接CD，且CD=CA，BD=，tan∠ADC=2．

小題1:（1）求證：CD是半圓O的切線
小題2:（2）求半圓O的直徑；
小題3:（3）求AD的長(zhǎng).

Answer 1

小題1:（1）證明：如圖，連接OD，
∵OD＝OB，∴∠1＝∠2.
∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A.
在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠1＝90°.
∴∠ADC＋∠2＝90°. ∴∠CDO＝90°.
∵OD為半圓O的半徑，
∴CD為半圓O的切線.
小題2:（2）解：如圖，連接DE.
∵BE為半圓O的直徑，
∴∠EDB＝90°.∴∠1＋∠3＝90°.
∴∠ADC＝∠3.
∴.
∴.
∴.
小題3:（3）解：作CF⊥AD于點(diǎn)F，∴AF＝DF.
設(shè)，
∵，∴CF＝2x.
∵∠1＋∠FCB＝90°，
∴.
∴. ∴FB＝4x.
∴BD＝3 x＝. 解得.
∴AD＝2DF＝2x＝

略