【題目】1)如圖1,已知ABC為等邊三角形,動點D在邊AC上,動點P在邊BC上,若這兩點分別從CB點同時出發(fā),以相同的速度由CA和由BC運動,連結(jié)AP、BD交于Q,兩點運動的過程中,APBD成立嗎?請證明你的結(jié)論.

2)如果把原題中的動點D在邊AC上,動點P在邊BC上,改為:動點D在射線CA上、動點P在射線BC上運動,其他條件不變,如圖2所示,APBD還成立嗎?說明理由,并求出∠BQP的大小.

3)如果把原題中的動點P在邊BC,改為動點P在射線AB上運動,連結(jié)DPBCE,其他條件不變,如圖3,則動點D、P在運動過程中,請你寫出DEPE的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1)成立,理由見解析;(2APBD成立,理由見解析, 60°;(3DEPE,理由見解析.

【解析】

1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠C=∠ABP60°ABBC,證明△ABP≌△BCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;

2)證明△ABP≌△BCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到APBD,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠BQP;

3)作DHABBCH,得到△CDH為等邊三角形,得到DHCD,證明△HDE≌△BPE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明.

解:(1)成立,

證明:∵△ABC是等邊三角形,

∴∠C=∠ABP60°ABBC,

由題意得,CDBP

在△ABP和△BCD中,

,

∴△ABP≌△BCD,

APBD

2APBD成立,

理由如下:由題意得,CPAD,

CP+BCAD+AC,即BPCD,

在△ABP和△BCD中,

,

∴△ABP≌△BCD,

APBD,∠APB=∠BDC,

∵∠APC+PAC=∠ACB60°,∠DAQ=∠PAC

∴∠BQP=∠DAQ+BDC60°;

3DEPE,

理由如下:作DHABBCH,

∵△ABC為等邊三角形,DHAB

∴∠CDH=∠A60°,∠CHD=∠CBA60°,∠HDE=∠P,

∴△CDH為等邊三角形,

DHCD,

CDBP

DHBP,

在△HDE和△BPE中,

,

∴△HDE≌△BPE,

DEPE

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2)求SPFCSPBF的值.

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