Question

3．如圖，AB是半圓O的直徑，將半圓沿弦BC折疊，折疊后的圓弧與AB交于點D，再將弧BD沿AB對折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中點，則BC：AB=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．

Answer 1

分析 過D點作BC的垂線，垂足為M，延長DM交$\widehat{AB}$于D′，連接CD、DE、BD′，過點C作CF⊥AB于點F，由圓周角定理得出$\widehat{AC}=\widehat{CD′}=\widehat{CD}=\widehat{DE}$，得出AC=CD=DE，證出CM=EM，延長CM=$\frac{1}{4}$BC，證出DM∥AC，∴AD=$\frac{1}{4}$AB，設(shè)∠ABC=α，則∠ACF=α，得出AD=2AF，由三角函數(shù)得出AD=2AB•sin²α，因此$\frac{1}{4}$AB=2AB•sin²α，求出sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由勾股定理和三角函數(shù)得出cosα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，即可得出結(jié)果．

解答 解：過D點作BC的垂線，垂足為M，延長DM交$\widehat{AB}$于D′，連接CD、DE、BD′，過點C作CF⊥AB于點F，如圖所示：
由等圓中圓周角相等所對的弧相等得：$\widehat{AC}=\widehat{CD′}=\widehat{CD}=\widehat{DE}$，
∴AC=CD=DE，
∴CM=EM，
∵E是BC的中點，
∴CM=$\frac{1}{4}$BC，
∵AB是半圓O的直徑，
∴AC⊥BC，
∵DM⊥BC，
∴DM∥AC，
∴AD=$\frac{1}{4}$AB，
設(shè)∠ABC=α，則∠ACF=α，
∵AC=CD，
∴AD=2AF，
∵AF=AC•sinα，AC=AB•sinα，
∴AD=2AB•sin²α，
∴$\frac{1}{4}$AB=2AB•sin²α，
∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，即$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$AC，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$AC，
∴cosα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴BC：AB=$\frac{\sqrt{14}}{4}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{14}}{4}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握圓周角定理，求出cosα是解決問題的關(guān)鍵．