Question

4．如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：
（1）∠DCF+$\frac{1}{2}$∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S_△BEC=2S_△CEF；（4）若∠B=80°，則∠AEF=50°．
其中一定成立的是（1）（2）（4）（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出（1）正確；
由ASA證明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CF=$\frac{1}{2}$EM=EF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FEC=∠ECF，得出（2）正確；
證出S_△EFC=S_△CFM，由MC＞BE，得出S_△BEC＜2S_△EFC，得出（3）錯(cuò)誤；
由平行線的性質(zhì)和互余兩角的關(guān)系得出（4）正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵F是AD的中點(diǎn)，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠DCF+$\frac{1}{2}$∠D=90°，
故（1）正確；
（2）延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F為AD中點(diǎn)，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDM}&{\;}\\{AF=DF}&{\;}\\{∠AFE=∠DFM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴CF=$\frac{1}{2}$EM=EF，
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，
故（2）正確；
（3）∵EF=FM，
∴S_△EFC=S_△CFM，
∵M(jìn)C＞BE，
∴S_△BEC＜2S_△EFC
故（3）錯(cuò)誤；
（4）∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=$\frac{1}{2}$∠BCD=50°，
∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，
故（4）正確．
故答案為：（1）（2）（4）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明△AEF≌△DMF是解題關(guān)鍵．