Question

14．若關于x的二次函數(shù)y=x²-2mx+m+6與x軸的兩個交點的橫坐標分別是α，β，試求（a-1）²+（β-1）²的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)關于x的二次函數(shù)y=x²-2mx+m+6與x軸的兩個交點的橫坐標分別是α，β，可以求得α+β與αβ的值以及m的取值范圍，從而可以對（α-1）²+（β-1）²進行化簡，并討論m的取值不同，取得不同的最小值，然后進行對比，即可得到所求式子的最小值．

解答 解：由題意可得，α，β是方程x²-2mx+m+6=0的兩個根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（-2m）^{2}-4×1×（m+6）≥0}\\{α+β=2m}\\{αβ=m+6}\end{array}\right.$
解得，m≥3或m≤-2，
∴（α-1）²+（β-1）²
=α²-2α+1+β²-2β+1
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=（2m）²-2（m+6）-2×2m+2
=4m²-6m-10
=$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$，
∴當m≤-2時，$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$的值隨m的增大而減小，
故m=-2時取得最小值，此時$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$=18；
當m≥3時，$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$的值m的增大而增大，
故當m=3時取得最小值，此時$4（m-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{49}{4}$=8；
由上可得，（α-1）²+（β-1）²的最小值是8．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、最值問題，解題的關鍵是明確題意，找出所求式子需要的條件．