Question

【題目】（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．

（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立；請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是直線l上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：DF＝EF．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；

（2）由條件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，結合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結論．

（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，再△DBF≌△EAF（SAS），得到DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，求出∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，所以△DEF為等邊三角形．即可得到DF＝EF．

解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠BDA＝∠AEC＝90°

又∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD＝AE，AD＝CE，

∵DE＝AD+AE，

∴DE＝CE+BD；

（2）成立

∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，

∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，

∴∠CAE＝∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴BD+CE＝AE+AD＝DE；

（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，

∴BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，

∴∠ABF＝∠CAF＝60°，

∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF＝∠FAE，

∵BF＝AF

在△DBF和△EAF中，

，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，

∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，

∴△DEF為等邊三角形．

∴DF＝EF．