Question

已知二次函數(shù)y=a（x²-6x+8）（a＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）如圖①，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）如圖②，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側(cè)．若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，求證四條線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形；
（3）如圖②，正方形EFGH向左平移t個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，正方形EFGH上是否存在一點(diǎn)P（包括正方形的邊界），使得四條線段PA、PB、PC、PD能夠構(gòu)成平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0，解得x₁=2，x₂=4；
令x=0，解得y=8a
故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
則OA=2，該拋物線對(duì)稱軸為直線x=3．
如圖①設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，則AM=1．
∵由題意得O'A=OA=2，
∴O'A=2AM，
∴∠O'AM=60°，
∴∠OAC=∠O'AC=60°，
∴OC=•AO=2，即8a=2，
解得，a=；

（2）若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，結(jié)果同樣成立．
（I）如圖②
設(shè)P是邊EF上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），連接PM．
∵點(diǎn)E（4，4）、F（4，3）與點(diǎn)B（4，0）在同一直線上，點(diǎn)C在y軸上，
∴PB＜BE，即PB＜4，PC≥4，
∴PC＞PB．
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．
（II）如圖③，設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)G重合），
點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，3）點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5，3）．
∴FB=3，GB=，
∴3≤PB＜，
∵PC≥4，
∴PC＞PB
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．

（3）正方形EFGH向左平移t個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，正方形EFGH上存在一點(diǎn)P（包括正方形的邊界），使得四條線段PA、PB、PC、PD能夠構(gòu)成平行四邊形．
如圖④，當(dāng)點(diǎn)P位于該拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，四條線段PA、PB、PC、PD能夠構(gòu)成平行四邊形．
∵點(diǎn)A、B是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，
∴PA=PB，
∴當(dāng)PC=PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD能夠構(gòu)成平行四邊形．
①當(dāng)點(diǎn)P位于邊EF上，即邊EF與對(duì)稱軸重合時(shí)．
∵該拋物線對(duì)稱軸為直線x=3，點(diǎn)E、F的橫坐標(biāo)均為4，
∴正方形EFGH向左平移1個(gè)單位時(shí)，正方形EFGH上存在一點(diǎn)P（包括正方形的邊界），使得四條線段PA、PB、PC、PD能夠構(gòu)成平行四邊形；
②當(dāng)點(diǎn)P位于邊HG上，即邊HG與對(duì)稱軸重合時(shí)．
∵點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，4）、（4，3），
∴EF=FG=1．
∵該拋物線對(duì)稱軸為直線x=3，
∴正方形EFGH向左平移2個(gè)單位時(shí)，正方形EFGH上存在一點(diǎn)P（包括正方形的邊界），使得四條線段PA、PB、PC、PD能夠構(gòu)成平行四邊形；
綜上所述，1≤t≤2．
分析：（1）本題需先求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，再根據(jù)∠OAC=60°得出OC，從而求出a．
（2）本題需先分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P是EF上任意一點(diǎn)時(shí)，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．
（3）要使線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成平行四邊形，必須有兩組對(duì)邊分別相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．