Question

在矩形ABCD中，=a，點G，H分別在邊AB，DC上，且HA=HG，點E為AB邊上的一個動點，連接HE，把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE．

（1）如圖1，當(dāng)DH=DA時，

①填空：∠HGA=　45　度；

②若EF∥HG，求∠AHE的度數(shù)，并求此時的最小值；

（2）如圖3，∠AEH=60°，EG=2BG，連接FG，交邊FG，交邊DC于點P，且FG⊥AB，G為垂足，求a的值．

Answer 1

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADH=90°，

∵DH=DA，

∴∠DAH=∠DHA=45°，

∴∠HAE=45°，

∵HA=HG，

∴∠HAE=∠HGA=45°；

故答案為：45°；

②分兩種情況討論：

第一種情況：

∵∠HAG=∠HGA=45°；

∴∠AHG=90°，

由折疊可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，

∵EF∥HG，

∴∠FHG=∠F=45°，

∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°，

即∠AHE+∠FHE=45°，

∴∠AHE=22.5°，

此時，當(dāng)B與G重合時，a的值最小，最小值是2；

第二種情況：

∵EF∥HG，

∴∠HGA=∠FEA=45°，

即∠AEH+∠FEH=45°，

由折疊可知：∠AEH=∠FEH，

∴∠AEH=∠FEH=22.5°，

∵EF∥HG，

∴∠GHE=∠FEH=22.5°，

∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，

此時，當(dāng)B與E重合時，a的值最小，

設(shè)DH=DA=x，則AH=CH=x，

在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：

AG=AH=2x，

∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，

∴∠AEH=∠GHE，

∴GH=GE=x，

∴AB=AE=2x+x，

∴a的最小值是=2+；

（2）如圖：過點H作HQ⊥AB于Q，則∠AQH=∠GOH=90°，

在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，

∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，

∴四邊形DAQH為矩形，

∴AD=HQ，

設(shè)AD=x，GB=y，則HQ=x，EG=2y，

由折疊可知：∠AEH=∠FEH=60°，

∴∠FEG=60°，

在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，EF=4y，

在Rt△HQE中，EQ==x，

∴QG=QE+EG=x+2y，

∵HA=HG，HQ⊥AB，

∴AQ=GQ=x+2y，

∴AE=AQ+QE=x+2y，

由折疊可知：AE=EF，

∴x+2y=4y，

∴y=x，

∴AB=2AQ+GB=2（x+2y）+y=x，

∴a==．