【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AC=BC,弦CD與AB交于E,AB=CD,過A作AF⊥BC于F.
(1)判斷AC與BD的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:AC=2CF+BD;
(3)若S△CFA=S△CBD,求tan∠BDC的值.
【答案】(1)AC∥BD,見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)連接BD和AD,根據(jù)圓心角、弦和圓心角的關(guān)系,即可判斷.
(2)在BC上找一點M,使得BM=BD,根據(jù)圓周角定理判斷出AD和AC的關(guān)系,然后根據(jù)三角形全等判斷AD和AM的關(guān)系,從而得出AM=AC,再根據(jù)三線合一,判斷出CF=FM,從而得出結(jié)論.
(3)分別過點B和點C 向AC和DB作垂線,根據(jù)平行線間的距離相等,得出BN=CG,再根據(jù)兩三角形面積相等,即可判斷出BD和CF的關(guān)系,再結(jié)合第(2)問,可以得出F點是BC的三等分點,然后設(shè)出CF的邊長為m,用m將AF和BF表示出來,根據(jù)圓周角定理及其推論得出∠CDB=∠ABF,然后代入即可計算.
解:(1)AC∥BD.
連接AD,BD,
∵AB=CD,
∴∠CAD=∠CBD,
又∵∠DAB=∠BCD,
∴∠CAB=∠ACD,
∵∠CAB=∠CDB
∴∠ACD=∠CDB
∴AC∥BD.
(2)在BC上找一點M,使BM=BD,
連接AM,AD
∵AC∥BD,
∴∠ACD=∠CDB,
∴AD=BC,
又∵AC=BC,
∴AD=AC,
∴∠ABD=∠ABM,
∵BA=BA
∴△AMB≌ADB,
∴AM=AD,
∴AM=AC
又∵AF⊥BC,
∴CF=FM
∵BC=CF+FM+MB=2CF+MB=2CF+BD
∵AC=BC,
∴AC=2CF+BD.
過B點向AC做垂線,垂足為N,
連接DB并延長DB,過C點向DB作垂線,與DB延長線交于點G,由圖可知CG即為
△CBD的高.
∵AC=BC,
∴BD=AF,
∵AC∥DB,
∴BN=CG,
∴BN=CG,
AF=CG,
又∵S△CFA=S△CBD,
∴BD=CF,
∵BC=2CF+BD.
∴BC=3CF,
設(shè)CF為m,則AC=3m,BF=BC-CF=2m,
∵AC=BC,
∴∠BDC=∠ABF
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【題目】數(shù)學課上,李老師準備了四張背面都一樣的卡片A、B、C、D,每張卡片的正面標有字母a、b、c表示三條線段(如下圖).把四張卡片背面朝上放在桌面上,李老師從這四張卡片中隨機抽取一張卡片后不放回,再隨機抽取一張.
⑴ 李老師隨機抽取一張卡片,抽到卡片B的概率等于 ;
⑵ 求李老師抽取的兩張卡片中每張卡片上的三條線段都能組成三角形的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,邊長為1的正方形OABC的頂點O與原點重合,頂點A,C分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N,連接OM、ON、MN.若∠MON=45°,則k的值為_____.
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【題目】2020年春,受疫情影響,同學們進行了3個多月的網(wǎng)課迎來了復學,為了解九年級學生網(wǎng)課期間學習情況,學校在復學后進行了復學測試,小虎同學在九年級隨機抽取了一部分學生的復學測試數(shù)學成績?yōu)闃颖,分?/span>A(100~90分)、B(89~80分)、C(79~60分)、D(59~0分)四個等級進行統(tǒng)計,并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖表,請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答以下問題:
其中C組的期末數(shù)學成績?nèi)缦拢?/span>
61 | 63 | 65 | 66 | 66 | 67 | 69 | 70 | 72 | 73 |
75 | 75 | 76 | 77 | 77 | 77 | 78 | 78 | 79 | 79 |
(1)請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)扇形統(tǒng)計圖中A組所占的圓心角的度數(shù)為______,C組的復學測試數(shù)學成績的中位數(shù)是______,眾數(shù)是_______;
(3)這個學校九年級共有學生400人,若分數(shù)為80分(含80分)以上為優(yōu)秀,請估計這次九年級學生復學測試數(shù)學考試成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)大約有多少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,半徑為的⊙B經(jīng)過原點O,且與x,y軸分交于點A,C,點C的坐標為(0,2),AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D,則經(jīng)過D點的反比例函數(shù)的解析式為_______.
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【題目】對于二次函數(shù)y=x2﹣4x+3和一次函數(shù)y=﹣x+1,我們把y=t(x2﹣4x+3)+(1﹣t)(﹣x+1)稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”,其中t是不為零的實數(shù),其圖象記作拋物線E.現(xiàn)有點A(1,0)和拋物線E上的點B(2,n),請完成下列任務(wù):
(嘗試)
⑴判斷點A是否在拋物線E上;
⑵求n的值.
(發(fā)現(xiàn))通過(1)和(2)的演算可知,對于t取任何不為零的實數(shù),拋物線E總過定點,請你求出定點的坐標.
(應(yīng)用)二次函數(shù)y=﹣3x2+8x﹣5是二次函數(shù)y=x2﹣4x+3和一次函數(shù)y=﹣x+1的一個“再生二次函數(shù)”嗎?如果是,求出t的值;如果不是,說明理由.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點,BD是對角線.
(1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)若∠ADB是直角,則四邊形BEDF是什么四邊形?證明你的結(jié)論.
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【題目】廣宇、承義兩名同學分別進行5次射擊訓練,訓練成績(單位:環(huán))如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
廣宇 | 9 | 8 | 7 | 7 | 9 |
承義 | 6 | 8 | 10 | 8 | 8 |
對他們的訓練成績作如下分析,其中說法正確的是( )
A.廣宇訓練成績的平均數(shù)大于承義訓練成績平均數(shù)
B.廣宇訓練成績的中位數(shù)與承義訓練成績中位數(shù)不同
C.廣宇訓練成績的眾數(shù)與承義訓練成績眾數(shù)相同
D.廣宇訓練成績比承義訓練成績更加穩(wěn)定
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