Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)為．

（1）點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右邊．點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形的周長最大時(shí)，求的最小值；

（2）如圖2，將原拋物線繞其對稱軸與軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得新的拋物線，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別記為，，把拋物線沿直線平移，，的對應(yīng)點(diǎn)分別記為，是否存在點(diǎn)，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）的最小值為；（2）存在，或或．

【解析】

(1) 設(shè)，則．然后再確定拋物線的對稱軸以及開口方向,即可確定最值；

（2）由題意知，拋物線繞其對稱軸與軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得拋物線，點(diǎn)的對應(yīng)與點(diǎn)重合．設(shè)，，然后利用勾股定理得到；然后就和分別解答即可．

解：（1），，，．

設(shè)，則．

拋物線的對稱軸為，

．

矩形的周長

．

此函數(shù)的圖象為拋物線，其對稱軸為，且．

，

當(dāng)時(shí)，矩形的周長最大，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，

，

作于交于，此時(shí)最小，的最小值．

延長交于，可求得，，

的最小值．

（2）由題意知，拋物線繞其對稱軸與軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得拋物線，點(diǎn)的對應(yīng)與點(diǎn)重合．

設(shè)，，

則，

，

①當(dāng)時(shí)，

即

．

化簡后解得．

②當(dāng)時(shí)，，

即．

化簡后解得．

綜上所述，或或．