Question

20．如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點M是線段AC（不包括A、C兩點）上一點，過點M作MP∥y軸，交拋物線于點P，求線段PM的長的最大值，并寫出此時點M的坐標(biāo)；
（3）過點C作CE∥x軸，交拋物線于點E，設(shè)點Q是CE上方的拋物線上一點，連接CQ，過點Q作QF∥y軸，交CG于點F，若以Q、C、F為頂點的三角形和△BOC相似，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將A、C點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）直線AC：y=-x+3，設(shè)P（m，-m²+2m+3），M（m，-m+3），其中0＜m＜3，
PM=-m²+2m+3-（-m+3）=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，PM有最大值$\frac{9}{4}$，此時M（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）設(shè)Q（t，-t²+2t+3），則F（t，3），其中0＜t＜2，
∴QT=-t²+2t，CF=t，
當(dāng)y=0時，-x²+2x+3=0，解得x=-1，x=3，B（-1，0），
當(dāng)x=0時，y=3，即C（0，3），
∴OB=1，OC=3，
∵∠BOC=∠QFC=90°，
?當(dāng)△CFQ∽△BOC時，$\frac{CF}{QF}$=$\frac{BO}{CO}$，
∴$\frac{t}{-{t}^{2}+2t}$=$\frac{1}{3}$，∴t=-1（舍去）．
?當(dāng)△QFC∽△BOC時，$\frac{QF}{CF}$=$\frac{BO}{CO}$，
∴$\frac{-{t}^{2}+2t}{t}$=$\frac{1}{3}$，
∴t=$\frac{5}{3}$，
由此可知，當(dāng)以Q、C、F為頂點的三角形和△BOC相似，點Q的坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$，$\frac{32}{9}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．