Question

1．如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為⊙O的直徑，弦AD∥OC，OC交⊙O于點(diǎn)E．求證：
（1）$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$；
（2）CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ADO．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．等量代換得到∠BOC=∠COD，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，可證△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可證DC是⊙O的切線．

解答 證明：（1）連接OD；
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．
∴∠BOC=∠COD，
∴$\widehat{DE}=\widehat{BE}$；

（2）在△OBC和△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠DOC=∠BOC}\\{CO=CO}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ODC（SAS）．
∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是⊙O的切線．
∴∠OBC=90°．
∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切線．

點(diǎn)評 本題考查的是切線的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．