Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上的一點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)D，且∠ABD=2∠BDC．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)O作OF∥AD，分別交BD，CD于點(diǎn)E、F，若0E=$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，利用圓周角定理得∠A+∠ABD=90°，再由切線的性質(zhì)得∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，加上∠ODB=∠OBD，則∠A=∠BDC，則∠ABD=2∠A，然后利用互余可計算出∠A的度數(shù)；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OEB=∠ADB=90°，∠BOE=∠A=30°，然后在Rt△BOE中利用余弦的定義可求出OB．

解答 解：（1）連結(jié)OD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵CD為切線，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD+∠BDC=90°，
∴∠A=∠BDC，
∵∠ABD=2∠BDC，
∴∠ABD=2∠A，
∴∠A+2∠A=90°，
∴∠A=30°；
（2）∵OE∥AD，
∴∠OEB=∠ADB=90°，∠BOE=∠A=30°，
在Rt△BOE中，∵cos∠BOE=$\frac{OE}{OB}$，
∴OB=$\frac{\sqrt{3}}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
即⊙O的半徑為2．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決（1）小題的關(guān)鍵是證明∠A=∠BDC．