Question

如圖1，以△ABC的邊AB，AC為腰向外作等腰三角形ABE和ACD，且AB=AE，AC=AD，M為BC邊的中點，MA的延長線交DE于N
（1）當∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°時，線段AM線段DE的關系是______．
（2）如圖2，當∠BAC≠90°時，探究線段AM與線段DE的關系．
（3）如圖3，當∠BAC≠90°時，∠BAE=α°，∠CAD=（180-α）°，則線段DE與AM的大小關系怎樣？其夾角∠DNM是多少？請給出證明．

Answer 1

解：（1）DE=2AM且AM⊥DE．理由如下：
∵AB=AE，∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°，AC=AD，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED，∠ABM=∠AEN，
∵M為BC邊的中點，
∴BC=2AM，
∴DE=2AM；
∴AM=BM=CM，
∴∠ABM=∠BAM，
∴∠BAM=∠AEN，
∵∠BAM+∠EAN=90°，
∴∠AEN+∠EAN=90°，
∴∠ANE=90°，
∴AM⊥DE；
即DE=2AM，AM⊥DE；

（2）DE=2AM且AM⊥ED．理由如下：
延長AM到K，使MK=AM，連BK，則ABKC是平行四邊形，
∴AC=BK，∠ABK+∠BAC=180°，
∵∠DAC=∠EAB=90°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABK=∠DAE，
又∵BK=AD，AB=AE，
∴△ABK≌△EAD（SAS），
∴AK=DE，∠BAK=∠AED．
∴DE=2AM，
∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=90°，
∴AM⊥DE，
即DE=2AM且AM⊥ED；

（3）DE=2AM，∠DNM=（180-α）°．理由如下：
延長AM到P，使MP=MA，連接BP．
又∵BM=CM，∠BMP=∠CMA，
∴△BMP≌△CMA（SAS），
∴BP=AC=AD；∠BPM=∠CAM；
且∠PBM=∠ACM，
∴BP∥AC，∠ABP+∠BAC=180°，
又∵∠BAE+∠CAD=α°+（180-α）°=180°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABP=∠DAE，
又∵BP=AD，AB=AE，
∴△ABP≌△EAD（SAS），
∴PA=DE，∠BPA=∠ADE=∠CAM，
∴DE=2AM，
∠DNM=180度-（∠ADE+∠DAN）=180度-（∠CAM+∠DAN）=∠DAC=（180-α）°．
即DE=2AM，∠DNM=（180-α）°．
故答案為：DE=2AM且AM⊥DE．
分析：（1）先根據SAS證明△ABC≌△AED，得出BC=ED，∠ABM=∠AEN，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BC=2AM，即DE=2AM；又由∠ABM=∠BAM，∠BAM+∠EAN=90°，得出∠AEN+∠EAN=90°，從而證明出AM⊥DE；
（2）延長AM到K，使MK=AM，連BK，根據SAS證明△ADE≌△BAK，得出DE=AK=2AM，∠BAK=∠AED，再證明∠AED+∠EAN=90°，從而有AM⊥DE；
（3）延長AM到P，使MP=MA，連接BP．根據SAS先證明△BMP≌△CMA，再證明△ABP≌△EAD，然后根據全等三角形的性質PA=DE=2AM，∠BPA=∠ADE=∠CAM，從而得出∠DNM=∠DAC=（180-α）°．
點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上中線的性質，全等三角形的判定與性質，綜合性較強，從第一問到第三問，由特殊到一般，由淺入深，訓練了學生思維，考查了學生分析問題、歸納問題、解決問題的能力．