Question

如圖，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)你探究線段DE與AM之間的關(guān)系．
說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請(qǐng)你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；
（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明．
①畫出將△ACM繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；
②∠BAC=90°（如圖）

附加題：如圖，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，試探究線段DE與AM之間的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）分三種情況討論，當(dāng)∠BAC=90°，易得△ABC≌△AED；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得ED=2AM；進(jìn)而可以在∠BAC＞90°與∠BAC＜90°時(shí)，比較可得有ED＞2AM的結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，選�、谝椎么鸢福�

解答：解：（1）分三種情況；
當(dāng)∠BAC=90°，M是BC的中點(diǎn)
∴AM=BM=MC=

BC

2

∠EAD=∠BAC=90°，AE=AB，AC=AD
∴△ABC≌△AED
∴ED=BC
∴ED=2AM
同理當(dāng)∠BAC＞90°，易得ED=2AM
當(dāng)∠BAC＜90°，易得ED=2AM

（2）已知（1）的結(jié)論，若∠BAC=90°，可得ED=2AM
附加：結(jié)合上題可得：2AM=DE
延長(zhǎng)CA到F使AF=AC，連接BF
易證△ABF≌△ADE
∴BF=DE
∵2AM=BF
∴2AM=DE．

點(diǎn)評(píng)：本題為探究性題目，要求學(xué)生能全面考查可能出現(xiàn)的情況，并依次求出其中的關(guān)系．