Question

已知，如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，
（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）當添加條件

 

時，四邊形EHFG是一個菱形．

Answer 1

考點：中點四邊形,平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：

分析：（1）首先運用三角形中位線定理可得到FG∥AD，HE∥AD，F(xiàn)H∥CB，GE∥BC，再根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行得到GE∥FH，GF∥EH，可得到四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）添加條件AD=CB，再運用三角形中位線定理證明鄰邊相等，從而證明它是菱形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD中，點E、F、G、HE、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，
∴FG∥AD，HE∥AD，F(xiàn)H∥CB，GE∥BC，
∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一條直線的兩直線平行）；
∴四邊形GFHE是平行四邊形；

（2）解：當添加條件AD=CB時，四邊形EHFG是一個菱形；
∵點F、G、H分別是CD、AC、BD的中點，
∴FG=

1

2

AD，F(xiàn)H=

1

2

BC，
∵AD=BC，
∴FG=FH，
∵四邊形GFHE是平行四邊形，
∴四邊形EHFG是一個菱形．
故答案為：AD=BC．

點評：此題主要考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法，題目比較典型，又有綜合性，難度不大．