Question

【題目】如圖，在中，．半徑為的圓與邊相交于點(diǎn)與邊相交于點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)，與線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，連結(jié)若與相似，求的長(zhǎng)；

（2）若求的正切值；

（3）若，設(shè)的周長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），其中

【解析】

（1）當(dāng)∠B=30°時(shí)，∠A=60°，此時(shí)△ADE是等邊三角形，則∠PEC=∠AED=60°，由此可證得∠P=∠B=30°；若△AEP與△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此時(shí)EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的長(zhǎng)；
（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的長(zhǎng)；過C作CF∥DP交AB于F，易證得△ADE∽△AFC，根據(jù)得到的比例線段可求出DF的長(zhǎng)；進(jìn)而可通過證△BCF∽△BPD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得BP、BC的比例關(guān)系，進(jìn)而求出BP、CP的長(zhǎng)；在Rt△CEP中，根據(jù)求得的CP的長(zhǎng)及已知的CE的長(zhǎng)即可得到∠BPD的正切值；
（3）過點(diǎn)D作DQ⊥AC于Q，可用未知數(shù)表示出QE的長(zhǎng)，根據(jù)∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的長(zhǎng)；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的長(zhǎng)，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的長(zhǎng)；易證得△ADQ∽△ABC，根據(jù)得到的比例線段可求出BD、BC的表達(dá)式，進(jìn)而可根據(jù)三角形周長(zhǎng)的計(jì)算方法得到y、x的函數(shù)關(guān)系式．

解：

三角形為等腰三角形

與相似

在中，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，

且設(shè)

與相似

即

在中，

解之得，

即

過點(diǎn)作

與相似，

，

即，

即

與相似

，

即：

過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則與相似，

設(shè)，則

且

在中，

據(jù)勾股定理得：

即：，

解之得(舍去)

與相似

三角形的周長(zhǎng)

即：，其中