【題目】如圖,在中,.半徑為的圓與邊相交于點(diǎn)與邊相交于點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng),與線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),連結(jié)若與相似,求的長(zhǎng);
(2)若求的正切值;
(3)若,設(shè)的周長(zhǎng)為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1);(2);(3),其中
【解析】
(1)當(dāng)∠B=30°時(shí),∠A=60°,此時(shí)△ADE是等邊三角形,則∠PEC=∠AED=60°,由此可證得∠P=∠B=30°;若△AEP與△BDP相似,那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°,此時(shí)EP=EA=1,即可在Rt△PEC中求得CE的長(zhǎng);
(2)若BD=BC,可在Rt△ABC中,由勾股定理求得BD、BC的長(zhǎng);過C作CF∥DP交AB于F,易證得△ADE∽△AFC,根據(jù)得到的比例線段可求出DF的長(zhǎng);進(jìn)而可通過證△BCF∽△BPD,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得BP、BC的比例關(guān)系,進(jìn)而求出BP、CP的長(zhǎng);在Rt△CEP中,根據(jù)求得的CP的長(zhǎng)及已知的CE的長(zhǎng)即可得到∠BPD的正切值;
(3)過點(diǎn)D作DQ⊥AC于Q,可用未知數(shù)表示出QE的長(zhǎng),根據(jù)∠BPD(即∠EDQ)的正切值即可求出DQ的長(zhǎng);在Rt△ADQ中,可用QE表示出AQ的長(zhǎng),由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的長(zhǎng);易證得△ADQ∽△ABC,根據(jù)得到的比例線段可求出BD、BC的表達(dá)式,進(jìn)而可根據(jù)三角形周長(zhǎng)的計(jì)算方法得到y、x的函數(shù)關(guān)系式.
解:
三角形為等腰三角形
與相似
在中,
過點(diǎn)作于點(diǎn),
且設(shè)
與相似
即
在中,
解之得,
即
過點(diǎn)作
與相似,
,
即,
即
與相似
,
即:
過點(diǎn)作于點(diǎn),
則與相似,
設(shè),則
且
在中,
據(jù)勾股定理得:
即:,
解之得(舍去)
與相似
三角形的周長(zhǎng)
即:,其中
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某風(fēng)景區(qū)內(nèi)的公路如圖1所示,景區(qū)內(nèi)有免費(fèi)的班車,從入口處出發(fā)沿該公路開往草甸,途中?克郑ㄉ舷萝嚂r(shí)間忽略不計(jì)).第一班車上午8點(diǎn)發(fā)車,以后每隔10分鐘有一班車從入口處發(fā)車.小聰周末到該風(fēng)景區(qū)游玩,上午7:40到達(dá)入口處,因還沒到班車發(fā)車時(shí)間,于是從景區(qū)入口處出發(fā),沿該公路步行25分鐘后到達(dá)塔林.離入口處的路程y(米)與時(shí)間x(分)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.
(1)求第一班車離入口處的路程y(米)與時(shí)間x(分)函數(shù)表達(dá)式.并寫出x的取值范圍;
(2)求第一班車從入口處到達(dá)塔林所需的時(shí)間;
(3)小聰在塔林游玩40分鐘后,想坐班車到草甸,則小聰最早能夠坐上第幾班車?如果他坐這班車到草甸,比他在塔林游玩結(jié)束后立即步行到草甸提早了幾分鐘?(假設(shè)每一班車速度均相同,小聰步行速度不變)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在某場(chǎng)測(cè)試中各射擊10次,兩人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
甲 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
乙 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10
這兩人10次射擊命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)==8.5,則測(cè)試成績(jī)比較穩(wěn)定的是 .(填“甲”或“乙”)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)老師為了了解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見錯(cuò)誤的糾正情況,收集整理了學(xué)生在作業(yè)和考試中的常見錯(cuò)誤,編制了10道選擇題,每題3分,對(duì)他所教的初三(1)班(2)班進(jìn)行了檢測(cè).如圖表示從兩班各隨機(jī)抽取的10名學(xué)生的得分情況:
(1)利用圖中提供的信息,補(bǔ)全下表:
(2)若把24分以上(含24分)記為”優(yōu)秀”,兩班各50名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)兩班各有多少名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀;
(3)觀察圖中數(shù)據(jù)分布情況,請(qǐng)通過計(jì)算方差說明哪個(gè)班的學(xué)生糾錯(cuò)的得分情況更穩(wěn)定.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我市迎接奧運(yùn)圣火的活動(dòng)中,某校教學(xué)樓上懸掛著宣傳條幅DC,小麗同學(xué)在點(diǎn)A處,測(cè)得條幅頂端D的仰角為30°,再向條幅方向前進(jìn)10米后,又在點(diǎn)B處測(cè)得條幅頂端D的仰角為45°,已知測(cè)點(diǎn)A、B和C離地面高度都為1.44米,求條幅頂端D點(diǎn)距離地面的高度.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是△ABC的角平分線,過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E,DF∥AB交BC于點(diǎn)F.
⑴求證:四邊形BEDF為菱形;
⑵如果∠A=100°,∠C=30°,求∠BDE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,D是弦AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CD=AC,DB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:CD=CE;
(2)連結(jié)AE,若∠D=25°,求∠BAE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是⊙O的直徑,BA是⊙O的弦,過點(diǎn)A的切線CF交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.
(Ⅰ)若∠C=25°,求∠BAF的度數(shù);
(Ⅱ)若AB=AC,CD=2,求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,∠BAC=α°,AB=AC,D是BC上一點(diǎn),將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°,得到線段AE,連接BE.
(1)(特例感知)如圖1,若α=90,則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)(類比探究)如圖2,若α=120,試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(3)(拓展延伸)如圖3,若α=120,AB=AC=4,BD=,Q為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),將QD繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段QE,DE⊥BC,求AQ的長(zhǎng).
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