Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸上，∠ABO=90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）：將∠AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90⁰得到△ACD，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在雙曲線y₁=（x＞O）上．直線AC交雙曲線于點(diǎn)E．
（1）求雙曲線y₁=（x＞O）與直線AC的解析式y(tǒng)₂=kx+b；
（2）結(jié)合圖象指出，當(dāng)x取何值時(shí)，y₁＞y₂，y₁＜y₂？

Answer 1

解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），Rt△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴OB+AD=3，AB-CD=1，故C（3，1），
將C（3，1）代入y=中，得m=3×1=3，
∴y_1=，
把A點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)代入y₂=kx+b得：，
解得：，
∴y=-x+；

（2）∵，
∴或，
∴E的坐標(biāo)為（2，），
∴當(dāng)0＜x＜2或x＞3時(shí)y₁＞y₂，
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，y₁＜y₂．
分析：（1）由A（1，2）可知B0=1，AB=2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD=AB=2，CD=BO=1，△OAB旋轉(zhuǎn)90°，可知AD∥x軸，CD⊥x軸，根據(jù)線段的長(zhǎng)度求C點(diǎn)坐標(biāo)，再求m的值，把A點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)代入y₂=kx+b即可求出k和b的值；
（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式組成方程組，求出E的坐標(biāo)，觀察函數(shù)的圖象可知當(dāng)x取何值時(shí)，y₁＞y₂，y₁＜y₂．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)關(guān)系式的求法，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．關(guān)鍵是通過(guò)旋轉(zhuǎn)確定雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)．