Question

對(duì)于任意給定的n個(gè)自然數(shù)，其中一定存在若干個(gè)數(shù)，它們的和是n的倍數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽屜原理

專題：數(shù)字問(wèn)題,證明題

分析：假設(shè)n個(gè)自然數(shù)是a₁，a₂，a₃，a_n，而且考慮如下形式的和：S₁=a₁，S₂=a₁+a₂，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．討論這n個(gè)和S₁，S₂，S_n中，是否存在一個(gè)數(shù)是n的倍數(shù)，若不存在，則根據(jù)屜原則，必然存在兩個(gè)數(shù)它們被n除的余數(shù)相同，進(jìn)而證明兩個(gè)數(shù)的差S_k-S_j一定是n的倍數(shù)．

解答：解：假設(shè)n個(gè)自然數(shù)是a₁，a₂，a₃，…，a_n，而且考慮如下形式的和：S₁=a₁，S₂=a₁+a₂，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
如果在這n個(gè)和S₁，S₂，S_n中，存在一個(gè)數(shù)是n的倍數(shù)，則原命題成立．
如果在n個(gè)和S₁，S₂，S_n中，沒(méi)有n的倍數(shù)的數(shù)，那么它們被n除所得的余數(shù)只可能是1，2，n-1共n-1種情況．但由于S₁，S₂，S_n共有n個(gè)數(shù)，從而根據(jù)抽屜原則，必然存在兩個(gè)數(shù)它們被n除的余數(shù)相同．不妨設(shè)在這兩個(gè)數(shù)是S_k與S_j（k＞j），那么這兩個(gè)數(shù)的差S_k-S_j一定是n的倍數(shù)．
也就是說(shuō)，有：S_k-S_j=（a₁+a₂+a₃+…+a_j+a_j+a_j+2+…+a_k）-（a₁+a₂+a₃+…+a_j）=a_j+1+a_j+2+…+a_k，
這表明：這時(shí)從第j+1個(gè)數(shù)起，一直到第k個(gè)數(shù)．它們的和正好是n的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽屜原理的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是討論這n個(gè)和S₁，S₂，S_n中，是否存在一個(gè)數(shù)是n的倍數(shù)，利用抽屜原理進(jìn)行解答，本題難度較大．