Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸正半軸交于點(diǎn)A、B，OA=3，OB=

3

，將△AOB沿直線AB翻折，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)C恰好落在雙曲線y=

k

x

（k＞0）上．
（1）求k的值；
（2）如果將△ABC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PCA．
①請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②判斷點(diǎn)P是否在雙曲線y=

k

x

上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)C作CD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，利用三角函數(shù)即可求得C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求得P的坐標(biāo)，然后代入解析數(shù)即可判斷是否在函數(shù)的圖象上．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥OA，垂足為點(diǎn)D．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴AB=

AO2+BO2

=

32+( 3 )2

=2

3

…（1分）
∴AB=2BO，∴∠BAO=30°，
∵△ABC由△AOB沿直線AB翻折所得，
∴∠CAB=∠BAO=30°，CA=AO=3．
∵CD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°-30°-30°=30°…（1分）
∴AD=

1

2

AC=

3

2

，
∴CD=

AC2-AD2

=

32-( 3 2 )2

=

3

2

3

，OD=AO-AD=

3

2

，
∴C(

3

2

，

3

2

3

)．…（1分）
∵點(diǎn)C(

3

2

，

3

2

3

)在雙曲線y=

k

x

(k＞0)上，
∴

3

2

3

=

k

3 2

，
∴k=

9

4

3

．…（1分）

（2）①P(

9

2

，

3

2

)．…（1分）
②∵

9

2

×

3

2

=

9

4

3

=k．…（1分）
∴點(diǎn)P在雙曲線y=

k

x

上．…（1分）

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確求得C的坐標(biāo)是關(guān)鍵．