Question

14．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠CAE=∠ADC．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，∠B=60°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和π）

Answer 1

分析 （1）欲證明AE是⊙O的切線，只需證明BA⊥AE即可．
（2）根據(jù)S_陰=S_扇形AOC-S_△AOC計算即可．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90，
∵∠B=∠D=∠CAE，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠B=90°，即 BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線．
（2）解：作OM⊥AC，垂足為M．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∴∠AOM=∠COM=60°，
∴OM=$\frac{1}{2}$AO=1，AC=2AM=2$\sqrt{3}$
∴S_陰=S_扇形AOC-S_△AOC=$\frac{120π•4}{360}$-$\frac{1}{2}$$•2\sqrt{3}$•1=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形30度角的性質(zhì)、扇形面積、三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會用分割法求面積，屬于中考常考題型．