Question

已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B（-1，0），P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合）

（1）（2分）求點(diǎn)A、E的坐標(biāo)；

（2）（2分）若y=過點(diǎn)A、E，求拋物線的解析式。

（3）（5分）連結(jié)PB、PD，設(shè)L為△PBD的周長(zhǎng)，當(dāng)L取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及L的最小值，并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說明你的判斷理由

 

Answer 1

 

（1）E（0，）

（2）y=

（3）在

解析:解：（1）連結(jié)AD，不難求得A（1，2）

    OE=，得E（0，）

（2）因?yàn)閽佄锞�y=過點(diǎn)A、E

    由待定系數(shù)法得：c=，b=

     拋物線的解析式為y=

（3）大家記得這樣一個(gè)常識(shí)嗎？

    “牽牛從點(diǎn)A出發(fā)，到河邊l喝水，再到點(diǎn)B處吃草，走哪條路徑最短？”即確定l上的點(diǎn)P

    方法是作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'B與l的交點(diǎn)P即為所求.

     

    本題中的AC就是“河”，B、D分別為“出發(fā)點(diǎn)”和“草地”。

由引例并證明后，得先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，

連結(jié)BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，

即△PBD的周長(zhǎng)L取最小值。

不難求得∠D'DC=30º

DF=，DD'=2

求得點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4，）

直線BD'的解析式為：x+

直線AC的解析式為：

求直線BD'與AC的交點(diǎn)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)（，）。

此時(shí)BD'===2

所以△PBD的最小周長(zhǎng)L為2+2

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=成立，所以此時(shí)點(diǎn)P在拋物線上。