Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．

（1）判斷四邊形ABDF的形狀，并說明理由；

（2）證明四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）10.

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和中線的性質(zhì)，得出△AFE≌△DBE，即可解答.；

（2）由D是BC的中點，可得CD=AF，證得四邊形ADCF是平行四邊形，繼而判定四邊形ADCF是菱形；

（3）根據(jù)題意得四邊形ABDF是平行四邊形，即可求得DF的長，然后由菱形的面積等于其對角線積的一半，求得答案．

（1）解：四邊形ABDF是平行四邊形.

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF=DB．又∵AF∥BC

∴四邊形ABDF是平行四邊形

（2）證明：∵DB=DC，

∴AF=CD，

又∵AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中點，

∴AD=DC=BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（3）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF=AB=5，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴S=ACDF=10．