Question

【題目】在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于點E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點．

（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BE與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2，當α=30°時，試判斷四邊形BC1DA的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=DF；（2）四邊形BC1DA是菱形．

【解析】

（1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，則可證明△ABE≌△C1BF，于是得到BE=BF
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠A=∠C=30°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A1=∠C1=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，則利用平行線的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判斷四邊形BC1DA是平行四邊形，然后加上AB=BC1可判斷四邊形BC1DA是菱形．

（1）解：BE=DF．理由如下：

∵AB=BC，

∴∠A=∠C，

∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，

∴AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，

在△ABE和△C1BF中

，

∴△ABE≌△C1BF，

∴BE=BF

（2）解：四邊形BC1DA是菱形．理由如下：

∵AB=BC=2，∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=30°，

∴∠A1=∠C1=30°，

∵∠ABA1=∠CBC1=30°，

∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，

∴A1C1∥AB，AC∥BC1，

∴四邊形BC1DA是平行四邊形．

又∵AB=BC1，

∴四邊形BC1DA是菱形