【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中有一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線。

(1)如圖1,在ABC中,CD為角平分線,A=40°,B=60°,求證:CD為ABC的完美分割線;

(2)在ABC中,A=48°,CD是ABC的完美分割線,且ACD為等腰三角形,求ACB的度數(shù);

(3)如圖2,ABC中,AC=2,BC=,CD是ABC的完美分割線,且ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長。

【答案】(1)詳見解析;(2)ACB=96°或114°;(3)CD=.

【解析】

試題分析:(1)由A=40°B=60°可得ACB=80°,即ABC不是等腰三角形,再判定ACD是等腰三角形,BCD∽△BAC,即可得CD為ABC的完美分割線;(2)分AD=CD,AD=AC,AC=CD三種情況,根據(jù)這三種情況分別求出ACB的度數(shù),不合題意的舍去;(3)由BCD∽△BAC可得,設(shè)BD=x,代入可得,由于x>0,即可知x=-1.再由BCD∽△BAC,所以,解得CD=.

試題解析:(1)A=40°B=60°,

∴∠ACB=80°

∴△ABC不是等腰三角形,

又因CD為角平分線,

∴∠ACD=BCD=ABC=40°,

∴∠ACD=A=40°,

∴△ACD是等腰三角形,

BCD=A=40°,B=B,

BCD∽△BAC,

CD為ABC的完美分割線;

(2)當(dāng)AD=CD時(如圖),ACD=A=48°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=A=48°,

∴∠ACB=ACD+BCD=96°;

當(dāng)AD=AC時(如圖),ACD=ADC=,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=A=48°

∴∠ACB=ACD+BCD=114°;

當(dāng)AC=CD時(如圖),ACD=A=48°,

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=A=48°,

∵∠ADC>BCD,矛盾,舍去.

∴∠ACB=96°或114°;

(3)由已知AC=AD=2,

∵△BCD∽△BAC,

,

設(shè)BD=x

解得x=-1±

x>0,

x=-1.

∵△BCD∽△BAC,

,

CD=.

練習(xí)冊系列答案
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