Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
①若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC ， 求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵對(duì)稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，

∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）解：

①a=1時(shí)，∵拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，

∴ =﹣1，解得b=2．

將B（1，0）代入y=x2+2x+c，

得1+2+c=0，解得c=﹣3．

則二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3，

∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），OC=3．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC=4S△BOC，

∴ ×3×|x|=4× ×3×1，

∴|x|=4，x=±4．

當(dāng)x=4時(shí)，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；

當(dāng)x=﹣4時(shí)，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）；

②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t （k≠0）將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得 ，解得 ，

即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3．

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），

QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ，

∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，QD有最大值 ．

【解析】（1）由已知可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)。
（2）①根據(jù)已知，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，由y=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)求出△OBC的面積，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），根據(jù)S△POC=4S△BOC，建立方程求解，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出直線AC的解析式，由于Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，得出點(diǎn)Q和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相等為x，即可分別表示出它們的縱坐標(biāo)，再建立QD關(guān)于x的函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得線段QD長(zhǎng)度的最大值。
【考點(diǎn)精析】掌握確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．