Question

6．在正方形ABCD中，過點A引射線AH，交邊CD于點H（H不與點D重合）．通過翻折，使點B落在射線AH上的點G處，折痕AE交BC于E，連接E、G且延長EG交CD于F．
【感知】如圖2，當點H為邊CD上任意一點時（點H與點C不重合）．連接AF，可得FG與FD的大小關(guān)系是FG=FD；
【探究】如圖1，當點H與點C重合時，證明△CFE是等腰直角三角形．
【應用】①在圖2，當AB=5，BE=3時，利用探究的結(jié)論，求CF的長；
②在圖1中，當AB=5，是否存在△CFE的面積等于0.5，如存在，求出BE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 【感知】由折疊和正方形的性質(zhì)得到結(jié)論判斷出RT△AFG≌RT△AFD即可；
【探究】同（1）的方法判斷出Rt△EGC≌Rt△FGC即可．
【應用】①在Rt△ECF中，利用勾股定理得到，F(xiàn)E²=FC²+EC²，求出FG，即可；
②由△ECF的面積為S=0.5建立$\frac{1}{2}$EC×FC=$\frac{1}{2}$（5-y）²求解即可．

解答 解：[感知]：
如圖②，連接AF，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=90°，
由折疊得，∠AGE=∠ABC=90°，AG=AB=AD，
在RT△AFG和RT△AFD，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AD=AG}\end{array}\right.$，
∴RT△AFG≌RT△AFD，
∴FG=FD，
故答案為=；
【探究】連接AF，
②∵BC⊥CD，∠EGC=∠FGC=90°，
AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠ECG=∠FCG=45°，
在△EGC=△FGC中
   $\left\{\begin{array}{l}{∠EGC=∠FGC}\\{GC=GC}\\{∠ECG=∠FCG}\end{array}\right.$
∴Rt△EGC≌Rt△FGC．
∴∠CEG=∠CFG，
∵∠ECF=90°，
∴△CFE是等腰直角三角形，
【應用】①設(shè)FG=x，則FC=5-x，F(xiàn)E=3+x，
在Rt△ECF中，F(xiàn)E²=FC²+EC²，
即（3+x）²=（5-x）²+2²
解得x=$\frac{5}{4}$，即FG的長為$\frac{5}{4}$．
∴FD=FG=$\frac{5}{4}$
CF=CD-FD=5-$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$
②由折疊性質(zhì)可得∠EGA=∠B=90°
EC=FC
設(shè)BE=y，則EC=FC=5-y，
△ECF的面積為S=$\frac{1}{2}$EC×FC=$\frac{1}{2}$（5-y）²=0.5
整理得  y²-10y+24=0，
解得y₁=4，y₂=6（舍去），
∴BE=4，此時EC=FC=5-y=1，
而EF=2EG=2BE=8，CE，CF，EF不能構(gòu)成三角形，所以不存在，
故當AB=5，不存在△CFE的面積等于0.5．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，用勾股定理求出FG是解本題的關(guān)鍵．