Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O為原點，E為AB上一點，把△CBE沿CE折疊，使點B恰好落在OA邊上的點D處，點A，D的坐標分別為（5，0）和（3，0）．
（1）求點C的坐標；
（2）求DE所在直線的解析式；
（3）設(shè)過點C的拋物線y=2x²+bx+c（b＜0）與直線BC的另一個交點為M，問在該拋物線上是否存在點G，使得△CMG為等邊三角形？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出BC=CD=AO=5，可在直角三角形OCD中，根據(jù)CD和OD的長用勾股定理求出OC的值．即可得出C點的坐標．
（2）本題的關(guān)鍵是求出E點的坐標，可設(shè)AE=x，那么BE=DE=4-x，在直角三角形DEA中，用勾股定理即可求出AE的長，也就求得了E點的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DE的解析式．
（3）根據(jù)C點的坐標即可得出拋物線的待定系數(shù)中c=4，根據(jù)拋物線的和等邊三角形的對稱性，如果△CMG是等邊三角形，G必為拋物線頂點，可據(jù)此表示出G點的坐標．設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點為F，那么可根據(jù)G點的坐標和C點的坐標求出CF和FG的長，然后根據(jù)△CMG是等邊三角形FG=FC，據(jù)此可求出b的值，即可確定拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式即可求出G點的坐標．
解答：解：（1）根據(jù)題意，得CD=CB=OA=5，OD=3，
∵∠COD=90°，
∴OC==4．
∴點C的坐標是（0，4）；

（2）∵AB=OC=4，設(shè)AE=x，
則DE=BE=4-x，AD=OA-OD=5-3=2，
在Rt△DEA中，DE²=AD²+AE²．
∴（4-x）²=2²+x²．
解之，得x=，
即點E的坐標是（5，）．
設(shè)DE所在直線的解析式為y=kx+b，
∴
解之，得
∴DE所在直線的解析式為y=x-；

（3）∵點C（0，4）在拋物線y=2x²+bx+c上，
∴c=4．
即拋物線為y=2x²+bx+c．
假設(shè)在拋物線y=2x²+bx+c上存在點G，使得△CMG為等邊三角形，
根據(jù)拋物線的對稱性及等邊三角形的性質(zhì)，得點G一定在該拋物線的頂點上．
設(shè)點G的坐標為（m，n），
∴m=-，n==，
即點G的坐標為（-，）．
設(shè)對稱軸x=-b與直線CB交于點F，與x軸交于點H．
則點F的坐標為（-b，4）．
∵b＜0，
∴m＞0，點G在y軸的右側(cè)，
CF=m=-，F(xiàn)H=4，F(xiàn)G=4-=．（*）
∵CM=CG=2CF=-，
∴在Rt△CGF中，CG²=CF²+FG²，
（-）²=（-）²+（）²．
解之，得b=-2．
∵b＜0
∴m=-b=，n==．
∴點G的坐標為（，）．
∴在拋物線y=2x²+bx+c（b＜0）上存在點G（，），使得△CMG為等邊三角形．
在（*）后解法二：Rt△CGF中，∠CGF=×60°=30度．
∴tan∠CGF==tan30度．
∴．
解之，得b=-2．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．