Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點(diǎn)P在圖形M上，點(diǎn)Q在圖形N上，稱線段PQ長(zhǎng)度的最小值為圖形M，N的密距，記為d（M，N）．特別地，若圖形M，N有公共點(diǎn)，規(guī)定d（M，N）=0．
（1）如圖1，⊙O的半徑為2，
①點(diǎn)A（0，1），B（4，3），則d（A，⊙O）=1，d（B，⊙O）=3．
②已知直線l：y=$\frac{3}{4}x+b$與⊙O的密距d（l，⊙O）=$\frac{6}{5}$，求b的值．
（2）如圖2，C為x軸正半軸上一點(diǎn)，⊙C的半徑為1，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$$+\frac{4\sqrt{3}}{3}$與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，線段DE與⊙C的密距d（DE，⊙C）＜$\frac{1}{2}$．請(qǐng)直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①連接OB，如圖1①，只需求出OA、OB就可解決問(wèn)題；
②設(shè)直線l：y=$\frac{3}{4}x+b$與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P、Q，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PQ于H，設(shè)OH與⊙O交于點(diǎn)G，如圖1②，可用面積法求出OH，然后根據(jù)條件建立關(guān)于b的方程，然后解這個(gè)方程就可解決問(wèn)題；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DE于N，如圖2．易求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，從而可得到OD、OE，然后運(yùn)用三角函數(shù)可求出∠ODE，然后分三種情況（①點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊，②點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，③點(diǎn)C在點(diǎn)D的右邊）討論，就可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）①連接OB，過(guò)點(diǎn)B作BT⊥x軸于T，如圖1①，
∵⊙O的半徑為2，點(diǎn)A（0，1），
∴d（A，⊙O）=2-1=1．
∵B（4，3），
∴OB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴d（B，⊙O）=5-2=3．
故答案為1，3；
②設(shè)直線l：y=$\frac{3}{4}x+b$與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P、Q，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PQ于H，設(shè)OH與⊙O交于點(diǎn)G，如圖1②，
∴P（-$\frac{4}{3}$b，0），Q（0，b），
∴OP=$\frac{4}{3}$|b|，OQ=|b|，
∴PQ=$\frac{5}{3}$|b|．
∵S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OP•OQ=$\frac{1}{2}$PQ•OH，
∴OH=$\frac{OP•OQ}{PQ}$=$\frac{4}{5}$|b|．
∵直線l：y=$\frac{3}{4}x+b$與⊙O的密距d（l，⊙O）=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{4}{5}$|b|=2+$\frac{6}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴b=±4；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DE于N，如圖2．
∵點(diǎn)D、E分別是直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$$+\frac{4\sqrt{3}}{3}$與x軸、y軸的交點(diǎn)，
∴D（4，0），E（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴OD=4，OE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠ODE=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ODE=30°．
①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左邊時(shí)，m＜4．
∵OC=m，
∴CD=4-m，
∴CN=CD•sin∠CDN=$\frac{1}{2}$（4-m）=2-$\frac{1}{2}$m．
∵線段DE與⊙C的密距d（DE，⊙C）＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜2-$\frac{1}{2}$m＜$\frac{1}{2}$+1，
∴1＜m＜4；
②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)D重合時(shí)，m=4．
此時(shí)d（DE，⊙C）=0．
③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D的右邊時(shí)，m＞4．
∵線段DE與⊙C的密距d（DE，⊙C）＜$\frac{1}{2}$，
∴CD＜$\frac{1}{2}$，
∴m-4＜$\frac{1}{2}$+1，
∴m＜$\frac{11}{2}$
∴4＜m＜$\frac{11}{2}$．
綜上所述：1＜m＜$\frac{11}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于新定義型，主要考查了直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理、三角函數(shù)、三角形的面積公式等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論是解決第（2）小題的關(guān)鍵，特別需要注意的是不要把“線段DE與⊙C的密距”與“直線DE與⊙C的密距”相混淆．