Question

已知：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD=10，sinC=．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，若兩點(diǎn)均以每秒1個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，連接EF．求△EFC面積的最大值，并說明此時(shí)E，F(xiàn)的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的關(guān)鍵是求出上底和梯形的高，可通過構(gòu)建直角三角形求解．過D作DM⊥BC于M，那么再直角三角形DMC中，可根據(jù)CD的長和∠C的正弦值求出梯形的高，進(jìn)而可求出CM的長，根據(jù)AD=BC-CM也就求出了上底的長，由此可根據(jù)梯形的面積公式求出其面積．
（2）本題要先求出三角形EFC的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)E，F(xiàn)的速度用時(shí)間t表示出CE，CF的長，△CEF中，可以用CE作底邊，以CF•sinC作高，可據(jù)此得出三角形CEF的面積和時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出EFC的面積最大值和對應(yīng)的時(shí)間t的值，然后根據(jù)時(shí)間t確定出E、F的具體位置．
解答：解：（1）過點(diǎn)D作DM⊥BC，垂足為M，
在Rt△DMC中，DM=CD•sinC=10×=8
CM===6
∴BM=BC-CM=10-6=4，
∴AD=4
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）DM=（4+10）×8=56；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，則有BE=CF=x，EC=10-x
過點(diǎn)F作FN⊥BC，垂足為N，在Rt△FNC中，F(xiàn)N=CF•sinC=x
∴S_△EFC=EC•FN=（10-x）×x=-x²+4x
當(dāng)時(shí)，S_△EFC=-×5²+4×5=10
即△EFC面積的最大值為10，
此時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD的中點(diǎn)處．
點(diǎn)評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．