Question

如圖，在平面直角坐標系中．頂點為（﹣4，﹣1）的拋物線交y軸于點A（0，3），交x軸于B，C兩點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）已知點P是拋物線上位于B，C兩點之間的一個動點，問：當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？并求出此時四邊形ABPC的面積．

（3）過點B作AB的垂線交拋物線于點D，是否存在以點C為圓心且與線段BD和拋物線的對稱軸l同時相切的圓？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

       解：（1）根據(jù)題意，可設拋物線的解析式為y=a（x+4）²﹣1，

把點A（0，3）代入得：3=16a﹣1，

解得a=，

所以此拋物線的解析式為y=（x+4）²﹣1；

（2）令y=0，則0=（x+4）²﹣1；

解得x₁=﹣2，x₂=﹣6，

∴B（﹣2，0），C（﹣6，0），

∴BC=4，

∵S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC，S_△ABC=BC•OA=×4×3=6，

∴要使四邊形ABPC的面積最大，則△PBC的面積最大，

∴當P點移動到拋物線的頂點是△PBC的面積最大，

∴四邊形ABPC的面積的最大值為：S_△ABC+S_△PBC=6+×4×1=6+2=8；

（3）如圖，設⊙C與BD相切于點E，連接CE，則∠BEC=∠AOB=90°．

∵A（0，3）、B（﹣2，0）、C（﹣6，0），

∴OA=3，OB=2，OC=6，BC=4；

∴AB==，

∵AB⊥BD，

∴∠ABC=∠EBC+90°=∠OAB+90°，

∴∠EBC=∠OAB，

∴△OAB∽△EBC，

∴=，即=

∴EC=．

設拋物線對稱軸交x軸于F．

∵拋物線的對稱軸x=﹣4，

∴CF=2≠，

∴不存在以點C為圓心且與線段BD和拋物線的對稱軸l同時相切的圓．