Question

2．如圖，直線y=-x+6交直線y=x+6于點A，直線y=-x+6與直線y=2x相交于點B，直線y=x+6與直線y=2x相交于點C．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求三角形ABC的面積；
（3）若點P是直線y=2x上的動點，當(dāng)△ABP的面積等于△AOC的面積時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=2x}\end{array}\right.$確定B點坐標(biāo)；
（2）先求出A、C兩點的坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△ABC=S_△AOC-S_△AOB，利用三角形面積公式計算即可求解；
（3）分點P在第一象限與第三象限兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=2x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
所以B點坐標(biāo)為（2，4）；

（2）將y=-x+6代入y=x+6，
得-x+6=x+6，
解得x=0，
則y=6，
所以A點坐標(biāo)為（0，6）；
將y=x+6代入y=2x，
得x+6=2x，
解得x=6，
則y=12，
所以C點坐標(biāo)為（6，12）；
S_△ABC=S_△AOC-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×6×6-$\frac{1}{2}$×6×2
=18-6=12；

（3）點P是直線y=2x上的動點，設(shè)P（a，2a）．分兩種情況：
①如果點P在第一象限，
∵S_△ABP=S_△AOP-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×6×a-$\frac{1}{2}$×6×2
=3a-6，
∴當(dāng)△ABP的面積等于△AOC的面積時，有3a-6=18，
解得a=8，
∴點P的坐標(biāo)為（8，16）；
②如果點P在第三象限，
∵S_△ABP=S_△AOP+S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×6×（-a）+$\frac{1}{2}$×6×2
=-3a+6，
∴當(dāng)△ABP的面積等于△AOC的面積時，有-3a+6=18，
解得a=-4，
∴點P的坐標(biāo)為（-4，-8）；
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（8，16）或（-4，-8）．

點評 本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．也考查了三角形面積公式．