Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，且以為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖2，軸瑋拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸平行的直線與，分別交于點(diǎn)，，試探究當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形的面積最大，求點(diǎn)的坐標(biāo)及最大面積；

(4)若點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上的一點(diǎn)，在軸，軸上分別找點(diǎn)，，使四邊形的周長最小，求出點(diǎn)，的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣4x﹣5，(2) D的坐標(biāo)為（0，1）或（0，）；(3) 當(dāng)t=時(shí)，四邊形CHEF的面積最大為．(4) P（，0），Q（0，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法直接拋物線解析式；

（2）分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）先求出直線BC的解析式，進(jìn)而求出四邊形CHEF的面積的函數(shù)關(guān)系式，即可求出最大值；

（4）利用對稱性找出點(diǎn)P，Q的位置，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線y=ax2+bx﹣5上，

∴，

∴，

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣4x﹣5，

（2）如圖1，令x=0，則y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴AB=6，BC=5，

要使以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有或，

①當(dāng)時(shí)，

CD=AB=6，

∴D（0，1），

②當(dāng)時(shí)，

∴，

∴CD=，

∴D（0，），

即：D的坐標(biāo)為（0，1）或（0，）；

（3）設(shè)H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x軸，

∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為﹣5，

∵E在拋物線上，

∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，

∴E（4，﹣5），

∴CE=4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直線BC的解析式為y=x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣ ）2+，

∵CE∥x軸，HF∥y軸，

∴CE⊥HF，

∴S四邊形CHEF=CEHF=﹣2（t﹣）2+，

當(dāng)t=時(shí)，四邊形CHEF的面積最大為．

（4）如圖2，

∵K為拋物線的頂點(diǎn)，

∴K（2，﹣9），

∴K關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在拋物線上，

∴M（4，﹣5），

∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M'（4，5），

∴直線K'M'的解析式為y=x﹣，

∴P（，0），Q（0，﹣）．