【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)是軸上的一點(diǎn),且以為頂點(diǎn)的三角形與相似,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,軸瑋拋物線相交于點(diǎn),點(diǎn)是直線下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)且與軸平行的直線與,分別交于點(diǎn),,試探究當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形的面積最大,求點(diǎn)的坐標(biāo)及最大面積;
(4)若點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)是該拋物線上的一點(diǎn),在軸,軸上分別找點(diǎn),,使四邊形的周長最小,求出點(diǎn),的坐標(biāo).
【答案】(1) y=x2﹣4x﹣5,(2) D的坐標(biāo)為(0,1)或(0,);(3) 當(dāng)t=時(shí),四邊形CHEF的面積最大為.(4) P(,0),Q(0,﹣).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法直接拋物線解析式;
(2)分兩種情況,利用相似三角形的比例式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)先求出直線BC的解析式,進(jìn)而求出四邊形CHEF的面積的函數(shù)關(guān)系式,即可求出最大值;
(4)利用對稱性找出點(diǎn)P,Q的位置,進(jìn)而求出P,Q的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,0)在拋物線y=ax2+bx﹣5上,
∴,
∴,
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣4x﹣5,
(2)如圖1,令x=0,則y=﹣5,
∴C(0,﹣5),
∴OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴AB=6,BC=5,
要使以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,則有或,
①當(dāng)時(shí),
CD=AB=6,
∴D(0,1),
②當(dāng)時(shí),
∴,
∴CD=,
∴D(0,),
即:D的坐標(biāo)為(0,1)或(0,);
(3)設(shè)H(t,t2﹣4t﹣5),
∵CE∥x軸,
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為﹣5,
∵E在拋物線上,
∴x2﹣4x﹣5=﹣5,∴x=0(舍)或x=4,
∴E(4,﹣5),
∴CE=4,
∵B(5,0),C(0,﹣5),
∴直線BC的解析式為y=x﹣5,
∴F(t,t﹣5),
∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣ )2+,
∵CE∥x軸,HF∥y軸,
∴CE⊥HF,
∴S四邊形CHEF=CEHF=﹣2(t﹣)2+,
當(dāng)t=時(shí),四邊形CHEF的面積最大為.
(4)如圖2,
∵K為拋物線的頂點(diǎn),
∴K(2,﹣9),
∴K關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)K'(﹣2,﹣9),
∵M(4,m)在拋物線上,
∴M(4,﹣5),
∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M'(4,5),
∴直線K'M'的解析式為y=x﹣,
∴P(,0),Q(0,﹣).
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A. 三邊垂直平分線的交點(diǎn) B. 三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,過O點(diǎn)作OP⊥AB,交弦AC于點(diǎn)D,交⊙O于點(diǎn)E,且使∠PCA=∠ABC.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若∠P=60°,PC=2,求PE的長.
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【題目】(本題滿分10分)
問題背景:已知的頂點(diǎn)在的邊所在直線上(不與,重合).交所在直線于點(diǎn),交所在直線于點(diǎn).記的面積為,的面積為.
(1)初步嘗試:如圖①,當(dāng)是等邊三角形,,,且,時(shí),則 ;
(2)類比探究:在(1)的條件下,先將點(diǎn)沿平移,使,再將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置,求的值;
(3)延伸拓展:當(dāng)是等腰三角形時(shí),設(shè).
(I)如圖③,當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè),,求的表達(dá)式(結(jié)果用,和的三角函數(shù)表示).
(II)如圖④,當(dāng)點(diǎn)在的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè),,直接寫出的表達(dá)式,不必寫出解答過程.
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