【題目】如圖,已知拋物線y= (x+2)(x﹣4)與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D,M為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);
(2)設(shè)動點(diǎn)N(﹣2,n),求使MN+BN的值最小時n的值;
(3)P是拋物線上一點(diǎn),請你探究:是否存在點(diǎn)P,使以P,A,B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似(△PAB與△ABD不重合)?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:令y=0得x1=﹣2,x2=4,

∴點(diǎn)A(﹣2,0)、B(4,0)

令x=0得y=﹣ ,

∴點(diǎn)C(0,﹣


(2)解:將x=1代入拋物線的解析式得y=﹣

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣

∴點(diǎn)M關(guān)于直線x=﹣2的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(﹣5,

設(shè)直線M′B的解析式為y=kx+b

將點(diǎn)M′、B的坐標(biāo)代入得:

解得:

所以直線M′B的解析式為y=

將x=﹣2代入得:y=﹣ ,

所以n=﹣


(3)解:過點(diǎn)D作DE⊥BA,垂足為E.

由勾股定理得:

AD= =3

BD= ,

如下圖,①當(dāng)P1AB∽△ADB時,

即:

∴P1B=6

過點(diǎn)P1作P1M1⊥AB,垂足為M1

即:

解得:P1M1=6 ,

即:

解得:BM1=12

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(﹣8,6

∵點(diǎn)P1不在拋物線上,所以此種情況不存在;

②當(dāng)△P2AB∽△BDA時, 即:

∴P2B=6

過點(diǎn)P2作P2M2⊥AB,垂足為M2

,即:

∴P2M2=2

,即:

∴M2B=8

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(﹣4,2

將x=﹣4代入拋物線的解析式得:y=2

∴點(diǎn)P2在拋物線上.

由拋物線的對稱性可知:點(diǎn)P2與點(diǎn)P4關(guān)于直線x=1對稱,

∴P4的坐標(biāo)為(6,2 ),

當(dāng)點(diǎn)P3位于點(diǎn)C處時,兩三角形全等,所以點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(0,﹣ ),

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(﹣4,2 )或(6,2 )或(0,﹣ )時,以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似


【解析】(1)令y=0可求得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo),令x=0可求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作M點(diǎn)關(guān)于直線X=-2的對稱點(diǎn)M′,當(dāng)點(diǎn)N在直線M′B上時MN+BN的值最小;(3)需要分類討論;①當(dāng)P1AB∽△ADB時,當(dāng)△P2AB∽△BDA時根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長度,然后求出P點(diǎn)的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn),求最短路徑;與確定起點(diǎn)相反,已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn),求最短路徑;已知起點(diǎn)和終點(diǎn),求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑;求圖中所有最短路徑;相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,∠A=40°,D、E分別是AB、AC上的不動點(diǎn),且BD+CE=BC,點(diǎn)PBC上一動點(diǎn),

1)當(dāng)PC=CE時,試求∠DPE的度數(shù)

2)當(dāng)PC=BD時,∠DPE的度數(shù)還會與(1)的結(jié)果相同嗎?若相同請寫出求解過程,若不相同,請說明理由

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1)籃球和足球的單價各是多少元?

2)實(shí)際購買時,正逢該商店進(jìn)行促銷.所有體育用品都按原價的八折優(yōu)惠出售,學(xué)校購買了若干個籃球和足球,恰好花費(fèi)1760.請直接寫出學(xué)校購買籃球和足球的個數(shù)各是多少.

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①abc>0;②2a﹣b<0;③4a﹣2b+c<0;④4ac<b2
其中正確的個數(shù)有( )

A.1
B.2
C.3
D.4

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(1)求直線l的函數(shù)解析式;
(2)過點(diǎn)P作直線l的垂線l1 , 交函數(shù)y= (x>0)圖象于點(diǎn)C,求△OPC的面積.

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