Question

已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABDC的面積；
（3）判斷△DBC的形狀，并探討：△AOB與△BDC是否相似？如果相似，請(qǐng)證明；否則，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-1，0）、B（0，3）分別代入y=-x²+bx+c，求出即可；
（2）將四邊形分割成三角形，再求面積；
（3）利用勾股定理的逆定理判斷出三角形的形狀，再利用三角形相似的判定方法得出答案．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，
∴將A（-1，0）、B（0，3）分別代入y=-x²+bx+c得：
，
解得：b=2，c=3，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）連接OD，做DE⊥OC，
∵y=-x²+2x+3=-（x²-2x）+3=-（x-1）²+4；
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)D為：（1，4），
∵A（-1，0）利用二次函數(shù)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（3，0），
∴四邊形ABDC的面積=S_△AOB+S_△BOD+S_△DOC，
=×1×3+×1×3+×3×4，
=9；

（3）做DF⊥OB，連接BC，
∵BD===，
CD===2，
BC===3，
∴BD²+BC²=CD²，
∴△DBC的形狀是直角三角形，
∵=，=，
∴，∠DBC=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△BDC．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及分割四邊形求面積和相似三角形的判定，還有勾股定理的逆定理應(yīng)用等知識(shí)，題目綜合性較強(qiáng)，是二次函數(shù)部分典型題目．